数学-2021年高考高三5月全国大联考考后（强化卷广东卷）含答案解析

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2021年高三5月大联考考后强化卷（广东卷）

数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，，则

A． B．

C． D．

2．已知，，，则，，的大小关系为

A． B．

C． D．

3．的展开式中的系数为

A． B． C． D．

4．为了得到函数的图象，需将函数的图象

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

5．若均为正实数，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．如图，是外一点，若，，，，，则

A． B．4 C． D．8

7．已知等比数列满足，，若，是数列的前项和，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

8．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）的国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设为复数，则下列命题中正确的是

A． B．

C．若，则的最大值为2 D．若，则

10．已知函数，以下结论正确的是

A．是偶函数  B．最小值为2

C．在区间上单调递减 D．的周期为2

11．矩形中，，，将沿折起，使到的位置，在平面的射影恰落在上，则

A．三棱锥的外接球直径为     B．平面平面

C．平面平面     D．与所成的角为

12．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是

A．对于半径为的圆，其圆上任一点的曲率半径均为

B．椭圆上一点处的曲率半径的最大值为

C．椭圆上一点处的曲率半径的最小值为

D．椭圆上点处的曲率半径随着的增大而减小

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设随机变量，若，则__________．

14．已知在三棱锥中，，，的中点为且，当该三棱锥体积最大时，它的内切球半径为__________．

15．在直角三角形中，，，点是外接圆上的任意一点，则的最大值是__________．

16．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.

问题：的内角的对边分别为，已知             .

（1）求；

（2）若为的中点，，求的面积的最大值.

18．（12分）已知正项数列的前项和为，且和满足：.

（1）求的通项公式；

（2）设数列，求的前项和.

19．（12分）“T2钻石联赛”是世界乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用7局4胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为，每局比赛结果相互独立.

（1）求4局比赛决出胜负的概率；

（2）设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲乙总共进行的局数记为，求的分布列及数学期望.

20．（12分）给出两块相同的正三角形铁皮（如图1，图2），

（1）要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的表面积都与原三角形的面积相等.

①请各设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；

②试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小.

（2）设正三角形铁皮的边长为，将正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图3），做成一个无盖的正三棱柱形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

21．（12分）已知双曲线经过点，两个焦点分别为，．

（1）求的方程；

（2）设是上一点，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，为定值，并求此定值．

22．（12分）对于定义在上的函数，若函数满足：①在区间上单调递减；②存在常数，使其值域为，则称函数为的“渐近函数”.

（1）设，若在上有解，求实数的取值范围；

（2）证明：函数是函数，的渐近函数，并求此时实数的值；

（3）若函数，，，证明：当时，不是的渐近函数.

2021年高三5月大联考考后强化卷（广东卷）

数学·全解全析

1．【答案】C

【解析】因为或，，

所以，，所以选项A，B都错；

因为，则，所以选项C正确；

由，所以，故选项D错.

故选C.

2．【答案】A

【解析】，

由于函数在上单调递增，所以，

由于函数在上单调递减，所以，

所以.

故选A.

3．【答案】D

【解析】设的展开式的通项公式为，

令，；令，，

所以的展开式中项的系数为：.

故选D.

4．【答案】D

【解析】因为函数，

所以将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象.

故选D.

5．【答案】A

【解析】均为正实数，若，可得：（当且仅当时，等号成立）；

反之不成立，例如,取时，，但不成立，

∴“”是“”的充分不必要条件，

故选A.

6．【答案】C

【解析】由得．在中，由余弦定理得，

所以，则．因为，所以．在中，，

所以由正弦定理得，

故选C．

7．【答案】C

【解析】设等比数列的公比为，

因为，，所以，解得，，，

因为，所以，，

则，，

，

对任意，不等式恒成立，即对任意不等式恒成立，

因为，所以，的取值范围为.

故选C.

8．【答案】B

【解析】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，

∴，设切线为，切线为，

∴由化简整理得，由知

，整理得，

同理，由，可得，

∴，即，故.

故选B.

9．【答案】ACD

【解析】对于A：，则，∴，而，所以，选项A正确；

对于B：，当时，，而，所以不成立，选项B错误；

对于C： 可以看成以为圆心，1为半径的圆上的点P，可以看成点P到的距离，所以当P(0,1)时，可取的最大值为2，所以选项C正确；

对于D： 可以看成以为圆心，1为半径的圆上的点N，则表示点N到原点的距离，故O，N重合时，=0最小，当O，M，N三点共线时，=2最大，故，选项D正确.

故选ACD.

10．【答案】ABD

【解析】∵，，∴是偶函数，A正确；

因为，所以函数的周期为2，D正确；

由函数的奇偶性与周期性，只须研究在上图象变化情况.，

当时，，则在上单调递增，在上单调递减，此时；

当时，，则在上单调递增，在上单调递减，此时，故当时，，B正确.

因为在上单调递减，又是偶函数，故在上单调递增，故C错误.

故选ABD.

11．【答案】AB

【解析】由题意，平面，又，，∴平面．故D错误；

又，，可得平面，又平面平面平面．故B正确；

对C，若平面平面，则由平面矛盾，故C错误；

取中点为．则，故为三棱锥的外接球球心，

所以直径，故A正确．

故选AB.

12．【答案】AC

【解析】A：由题设知：圆的方程可写为，所以圆上任一点曲率半径为，正确；

B,C：由弯曲程度最大处为，最小处为，所以在处有，

在处有，即，故B错误，C正确；

D：由题意，处的曲率半径，而，

所以，令，

则在上有恒成立，故在上随着的增大而增大，错误；

故选AC.

13．【答案】

【解析】由题设可知随机变量服从正态分布的图像关于对称，且，则根据对称性可得，所以.

14．【答案】

【解析】当平面时,三棱锥的体积取得最大值,体积为.

又 ,,,设内切球的半径为,则有,解得.

15．【答案】45

【解析】建立平面直角坐标系，如图所示：

，，，

外接圆的方程为，

设，，

则，，

，，当且仅当时取等号．

所以的最大值是45．

故答案为45．

16．【答案】

【解析】设，则，

由，解得，

当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．

∴当时，函数取得极大值也是最大值为．

方程化为．

解得或．

如图画出函数图象，可得的取值范围是．

故答案为.

17．（10分）

【解析】（1）选择条件①：∵，

∴由正弦定理得，.（1分）

又在中，,

.（3分）

又，

∴.

，即.（4分）

又，

.（5分）

选择条件②：

，

由正弦定理得，.（1分）

又，

.

，（3分）

即.

，

即.（4分）

又，

（5分）

（2）有题意知.

，即.（7分）

又，

（当且仅当时等号成立）.（8分）

由三角形面积公式可知.（9分）

的面积的最大值为.（10分）

18．（12分）

【解析】（1）当时，，解得：，（1分）

当且时，，

∴，（3分）

整理可得：，

∵，∴，∴，

∴数列以2为首项，4为公差的等差数列，（5分）

∴.（6分）

（2）由（1）知，，，（8分）

则，（9分）

∴.（12分）

19．（12分）

【解析】（1）设前24分钟比赛甲胜出为事件，乙胜出为事件，在“FAST5”模式中每局比赛甲获胜为事件，4局比赛决出胜负记为事件.

.（3分）

（2）由题意知的可能取值为4，5，6，7，

；（4分）

；（5分）

；（7分）

，（9分）

所以随机变量的分布列为

（11分）

.（12分）

20．（12分）

【解析】（1）①如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．（2分）

如图2，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，

其较长的一组邻边边长为三角形边长的，

有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，

可成一个缺上底的正三棱柱，

而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底．（4分）

②依上面剪拼方法，有．（5分）

理由如下：

设给出正三角形纸片的边长为2，那么，

正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，

其面积为．现在计算它们的高：

，．

，

所以．（8分）

（2）设箱底边长为，则箱高为，（9分）

箱子的容积为﹒

令，则，令 ，解得（舍），，（10分）

且当时，；当时，，

所以函数在处取得极大值，此时三棱柱的体积最大，为

．（11分）

所以当箱子底边长为时，箱子容积最大，最大值为．（12分）

21．（12分）

【解析】（1）由题意，所以，双曲线的方程可化为．（2分）

因为的方程经过点，所以，解得，或（舍去）．（4分）

所以的方程为．（5分）

（2）由（1）知直线的方程为．（7分）

把，分别代入得：，．

又在上，所以．,（9分）

所以

．（10分）

所以为定值． （12分）

22．（12分）

【解析】（1）由，即，（1分）

因为

所以（2分）

因为，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

所以.（4分）

（2）令，

所以在上单调递减，

所以，（5分）

当时，，

所以的值域为，

所以是的渐近函数，且.（7分）

（3）令，

则，（8分）

设，

则

，（9分）

所以在上单调递增，

即在上单调递增，

又当无穷大时，接近于1，故的值域为，（10分）

因为，所以，，

所以存在，使得，

所以时，单调递减，时，单调递增，（11分）

所以在上不是单调递减，

故当时，不是的渐近函数.（12分）