文科数学-2021年高考高三5月全国大联考考后（强化卷（新课标Ⅰ卷）含答案解析

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2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）

文科数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则

A．   B．   C．   D．

2．已知为虚数单位，若复数，，则复数在复平面内对应的点位于

A．第一象限  B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

3．古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形是阿基米德最引以为豪的发现．现有一底面圆的半径与高的比值为的圆柱，则该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为

A．   B．    C．    D．

4．已知数列满足，且，，则

A．   B．   C．   D．

5．中国古典戏曲五大名著是《牡丹亭》、《西厢记》、《桃花扇》、《窦娥冤》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝．若从上述这部戏曲名著中任选部，则《牡丹亭》和《西厢记》恰有部被选中的概率为

A．   B．    C．    D．

6．已知函数，则函数的单调递增区间为

A．   B．   C．   D．

7．已知实数，满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则

A．   B．    C．    D．

8．如图所示的函数图象对应的解析式可能是

A．     B．

C．       D．

9．已知，，且，，则

A．       B．

C．或    D．

10．在中，已知，，点是线段上靠近点的三等分点，点在线段上，则的最小值为

A．   B．    C．    D．

11．已知定义在上的函数，记，，，则的大小关系为

A．  B．   C．   D．

12．已知数列满足，，若，则当时，正整数的最小值为

A．   B．    C．    D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知命题，若为真命题，则实数的取值范围为__________．

14．若直线与函数为自然对数的底数的图象相切于点，则__________．

15．方程在上的实数根的个数为__________．

16．已知双曲线的右焦点为，过点作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于两点，若四边形为坐标原点存在外接圆，则双曲线的离心率为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

为进一步对学生进行爱国教育，某校社会实践活动小组在老师的指导下，从学校随机抽取了四个班级共160名同学对这次爱国教育受到的激励情况进行调查研究，记录的情况如下图：

（1）如果从这160名同学中随机选取1名同学，“此同学非常受激励”的概率和“此同学是很受激励的女同学”的概率都是，求a，b，c的值；

（2）根据“非常受激励”与“很受激励”两种情况进行研究，判断是否有95%的把握认为受激励程度与性别有关．

参考公式及数据：，其中．

18．（12分）

在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围．

19．（12分）

如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，点为线段上一点，且，点为线段的中点．

（1）若，求证：直线平面；

（2）是否存在一个常数，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

20．（12分）

已知点为坐标原点，椭圆过点，其上顶点为，右顶点和右焦点分别为，，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线交椭圆于，两点（异于点），若，试判定直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由．

21．（12分）

已知，函数，其中为自然对数的底数，．

（1）求证：函数有两个极值点；

（2）设是函数的两个极值点，求证：．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线分别交曲线和曲线于点，求的最大值及相应的的值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若，使得，求实数的取值范围．

2021年高三5月大联考考后强化卷（新课标Ⅰ卷）

文科数学·全解全析

1．D 【解析】由，解得，所以集合，

又，所以，故选D．

2．A 【解析】由题可得，

在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故选A．

3．B 【解析】设内切球的半径为，则圆柱底面圆的半径为，高为，

故圆柱的表面积，内切球的表面积，

所以该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为，故选B．

4．A 【解析】由可得，

若，则，与题中条件矛盾，故，

所以，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，

所以，所以

，所以，故选A．

5．C 【解析】依题意，将五大戏曲名著《牡丹亭》、《西厢记》、《桃花扇》、《窦娥冤》、《长生殿》分别用字母A，，，，表示，则从这部戏曲名著中任选部的总的基本事件有，，，，，，，，，，共种，其中《牡丹亭》和《西厢记》恰有部被选中的基本事件有，，，，，，共种，故所求概率，故选C．

6．B 【解析】由正切函数的图象，可知函数在上单调递增，

由，可得，

所以函数在上单调递增，

又，所以函数的单调递增区间为，故选B．

7．A 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，设，

则表示可行域中的点到原点的距离的平方，由图可知点到原点的距离最大，

所以．原点到直线的距离为可行域中的点到原点的距离的最小值，

所以，所以，故选A．

8．A 【解析】对于A：设，其定义域为，且，所以函数为奇函数，且，满足题意；对于B：设，其定义域为，且，所以函数为偶函数，不满足题意；对于C：设，其定义域为，且，所以函数为偶函数，不满足题意；对于D：设，其定义域为，且，所以函数为奇函数，且，不满足题意，故选A．

9．B 【解析】因为，且，所以，．又，所以，因为，所以，所以，所以，故选B．

10．C 【解析】由，可知．以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，

由题可设，其中，则，，

所以，令，，

则当时，函数取得最小值，且，

所以的最小值为，故选C．

11．D 【解析】由题可得，所以在上单调递增，

因为，，，

所以，又函数在上单调递增，

所以，即，故选D．

12．C 【解析】由可得，所以，

所以，即，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，

所以，所以，

由可得，所以且，所以正整数的最小值为，故选C．

13． 【解析】因为，，所以当时，恒成立，

令，，则函数在上单调递增，所以，所以，

所以实数的取值范围为，故答案为．

14． 【解析】由题可得，，所以，，

所以，所以，所以，所以，故答案为．

15． 【解析】令，则，显然在当时，，所以函数在上单调递增，又，，所以当时，函数的图象和轴有且仅有一个交点，所以方程在上的实数根的个数为，故答案为．

16． 【解析】由题可得，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，

则直线的方程为，直线的方程为，由，可得，

同理可得，因为直线与互相垂直平分，所以四边形为菱形，

因为四边形存在外接圆，所以，即，所以，

所以双曲线的离心率，故答案为．

17．（12分）

【解析】（1）由题意知，且．（3分）

解得．（5分）

（2）由题意可得列联表：

所以的观测值，（10分）

因为，所以没有的把握认为受激励程度与性别有关．（12分）

18．（12分）

【解析】（1）由，可得，

所以，（3分）

所以，

所以，所以，

因为，所以．（6分）

（2）因为，，

所以，（9分）

当且仅当时取等号，又，所以．（12分）

19．（12分）

【解析】（1）如图，取的中点，连接，，

因为，分别为，的中点，所以，．

因为，所以为的中点，所以，，（3分）

所以，，所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以直线平面．（6分）

（2）要使平面平面，只需，

因为，，所以，（9分）

因为平面，所以，又，所以平面，

因为平面，所以平面平面，所以，

所以存在一个常数，使得平面平面．（12分）

20．（12分）

【解析】（1）因为椭圆过点，所以 ①，（1分）

因为，所以，又，所以 ②，（3分）

把②代入①中，解得，，所以椭圆的标准方程为．（4分）

（2）当直线与轴垂直时，设直线的方程为，点，，．

因为，所以，

此时直线过椭圆的右顶点，与直线交椭圆于，两点矛盾；（6分）

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，点，．

联立，消去可得，（8分）

则，，，（9分）

所以

，（11分）

所以，，所以存在，使成立．

此时直线的方程为，即，

令，可得，所以直线过定点，该定点的坐标为．（12分）

21．（12分）

【解析】（1）由题可得函数的定义域为，，

令，，则在上单调递增，且，

当时，，单调递减；当，，单调递增，

所以，因为，，所以，．

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以是函数的极大值点；（3分）

因为，，所以，使得．

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以是函数的极小值点，所以函数在上有两个极值点．（6分）

（2）由（1）可得，且，

即，所以，

所以，，，（9分）

由，，可得，即，所以，

所以，

设，则，（11分）

所以在上单调递减，所以，

所以，则，所以．（12分）

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）曲线的普通方程为，

由，，可得曲线的极坐标方程为，（2分）

由曲线的极坐标方程为，即，

所以曲线的直角坐标方程为．（5分）

（2）由曲线的极坐标方程为，

令，可得，，

所以

．（7分）

因为，所以，

所以当，即时，取得最大值为．（10分）

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1）由题可得，（2分）

所以由，可得或或，解得，（4分）

所以不等式的解集为．（5分）

（2）当时，，若存在，使得，即，

则当时，，所以当时，．（7分）

因为，当且仅当，即时取等号，（9分）

所以，故，所以实数的取值范围为．（10分）