专题2.14 等或不等解存在，转化值域可实现-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

【题型综述】

导数研究方程的根或不等式的解集 

利用导数探讨方程解的存在性，通常可将方程转化为，通过确认函数或的值域，从而确定参数或变量的范围；

类似的，对于不等式，也可仿效此法．

【典例指引】

例1．已知函数．

（1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；

（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；

例2．已知函数的最大值为， 的图象关于轴对称．

(Ⅰ)求实数的值；

(Ⅱ)设，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

[来源:学*科*网]

例3．已知函数为常数

（1）当在处取得极值时，若关于x的方程 在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；

（2）若对任意的，总存在，使不等式 成立，求实数 的取值范围．

[来源:Zxxk.Com]

【新题展示】

1．【2019山东枣庄上学期期末】已知 [来源:学科网]

（I）求函数的极值；

（II）若方程仅有一个实数解，求的取值范围．

2．【2019广西柳州毕业班1月模拟】已知函数，

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.

3．【2019山东济南上学期期末】已知函数.

（1）若曲线在点处切线的斜率为1，求实数的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

4．【2019江西南昌二中上学期期末】已知函数 在处取到极值2.

（1）求的解析式；

（2）若a<e，函数，若对任意的，总存在（为自然对数的底数），使得，求实数的取值范围.

5．【2019江苏苏州上学期期末】已知函数(a，bR)．

（1）当a＝b＝1时，求的单调增区间；

（2）当a≠0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；

（3）当a＝0时，若的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围．[来源:学科网]

【同步训练】

1．设函数， ，已知曲线在点处的切线与直线平行．

（1）求的值；

（2）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．

[来源:学。科。网Z。X。X。K]

2．已知函数．

（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

3．已知函数，其中

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围．

4．已知函数．

（1）若在上递增，求的取值范围；

（2）若，与至少一个成立，求的取值范围（参考数据： ）

[来源:Z#xx#k.Com]

5．已知函数．

若，求函数的极值；

设函数，求函数的单调区间；

若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围．

6．已知函数 (为实常数)．

(1)若,求曲线在处的切线方程;

(2)讨论函数在上的单调性;

(3)若存在,使得成立,求实数的取值范围．[来源:学科网][来源:学科网ZXXK]

7．已知，其中．

（1）求函数的极大值点；

（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围．

8．已知函数（）

（1）若，求的极值；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．

9．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；[来源:学#科#网Z#X#X#K]

（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．

10．已知函数，且直线是函数的一条切线．

（1）求的值；

（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；

（3）已知方程有两个根，若，求证: ．

[来源:Z*xx*k.Com]