专题2.11 已知不等恒成立，分离参数定最值-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

【题型综述】

不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教学大纲要求）；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。

【典例指引】

例1  己知函数.

（1）若函数在处取得极值，且，求；

（2）若，且函数在上单调递増，求的取值范围.

解：（1），由题意可得：，又，所以.经检验适合题意.

 (2) ，

在上单调递增在上恒成立在上恒成立

法一（分离参数＋函数最值）：则在上恒成立，令，

下面求在上的最大值. ，令，则.显然，当时，，即单调递减，从而.

所以，当时，，即单调递减，从而.因此，.

法二（直接化为最值＋分类讨论）：令，.令，

①当时，，所以，即在上单调递减.而，与在上恒成立相矛盾.

②当时，则开口向上

(方案一）：Ⅰ.若，即时，,即，所以在上递增，所以，即.

Ⅱ.若，即时，此时，不合题意.

 (方案二）：Ⅰ.若对称轴，即时，则在上为增函数，[来源:Zxxk.Com]

，即，所以在上递增，所以，即.

Ⅱ.若对称轴，即时，则，不合题意.

法三（缩小范围＋证明不等式）：令，则.

另一方面，当时，则有，令，开口向上，对称轴，故在上为增函数，所以在上为增函数，则，故适合题意.

例2. (2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.

简析：（Ⅰ）的定义域为.当时，，，，所以曲线在处的切线方程为.

（Ⅱ）法一（参考答案，系数常数化）：在恒成立在恒成立，令，

①当时，则)时， ,故，在上是增函数，故有

②当时，则，，由，

故，在上是减函数，故有，故不适合题意.

综上，实数的取值范围为

法二（直接化为最值）：在恒成立，则 (导函数为超越函数）；在为增函数，则（1）当即时，则(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.

（2）当即 时，则，且，故在有唯一实根，则在为减函数，在增函数，又有，则存在,使得，故不适合题意.综上，实数的取值范围为.

法三（分离参数）：在恒成立在恒成立（端点自动成立），则设，令在为增函数，则在为增函数，又因，故实数的取值范围为

法四（缩小范围）：在恒成立，且，则存在，使得在上为增函数在上恒成立，令.

又当时，在为增函数，则(当且仅当(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.

综上，实数的取值范围为.

点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教学大纲要求的嫌疑。

2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线在点处的切线的斜率为1；

（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

解：（Ⅰ）  由题知  ∴，[来源:学。科。网Z。X。X。K]

，在上单减，∴在上恒成立

即在上恒成立，，∴；

（Ⅱ）法一（直接化为最值）令，则在上恒成立，

当即时，，在上单减，∴，符合题意；

当时，，在上单增，∴当时，，矛盾；

当时，在上单减，上单增，而，矛盾；

综上，.

法二（分离参数）在上恒成立（端点自动成立）

设，令

在上为减函数，则在上为减函数，又因，故实数的取值范围为

法三 （缩小范围）：令，则在上恒成立，注意到，，则存在，使得在上为减函数

在上恒成立，又有.则存在，使得在上为减函数[来源:学科网ZXXK]

在上恒成立，又有.

又当时，则

[来源:学科网]

（1）若时，，在上单减，∴，符合题意；

（2）若时，则，故在上单减，上单增，而，矛盾；[来源:学+科+网]

综上，实数的取值范围为

点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在时得到下确界，值得留意.

（2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。

 （3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为，而二次函数的零点为及，又知当时，零点，故易得，从而导出矛盾。

【扩展链接】

洛必达法则简介：[来源:学科网]

法则1  若函数和满足下列条件：（1) 及；（2）在点的去心邻域内，与可导，且；（3），那么.[来源:学科网]

法则2  若函数和满足下列条件：（1) 及；（2），和在与上可导，且；（3），那么.

法则3  若函数和满足下列条件：（1) 及；（2）在点的去心邻域内，与可导且；（3），那么.

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

①将上面公式中的换成洛必达法则也成立。

②洛必达法则可处理型。[来源:学科网]

③在着手求极限以前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会

出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

【新题展示】

1．【2019江西上饶联考】已知函数．

当时，求函数的单调增区间；

若函数在上是增函数，求实数a的取值范围；

若，且对任意，，，都有，求实数a的最小值．

2．【2019安徽安庆上学期期末】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）对于任意且时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

3．【2019黑龙江大庆二模】已知函数.

（Ⅰ）若点在函数的图象上运动，直线与函数的图象不相交，求点到直线距离的最小值；[来源:学+科+网]

（Ⅱ）若当时，恒成立，求实数的取值范围.

4．【2019江西宜春上学期期末】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，不等式在上恒成立，求整数的最大值.

【同步训练】

1．已知函数.

（1）若，求证：当时，；

（2）若存在，使，求实数的取值范围.

2．已知， 是的导函数．

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．

3．已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；[来源:Z.xx.k.Com]

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．

4．已知函数，.

(Ⅰ)当时，求证：过点有三条直线与曲线相切；

(Ⅱ)当时，，求实数的取值范围.

5．已知函数（）.

（1）当曲线在点处的切线的斜率大于时，求函数的单调区间；

（2）若 对恒成立，求的取值范围.（提示：）

6．已知函数在点处的切线方程为,且.

(Ⅰ)求函数的极值；

(Ⅱ)若在上恒成立，求正整数的最大值.

7．已知函数， ，其中， .

（1）若的一个极值点为，求的单调区间与极小值；

（2）当时， ， ， ，且在上有极值，求的取值范围.

8．已知函数.

(1)求函数的图象在处的切线方程；

(2)若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)设， ，

证明： .

9．已知函数， 为自然对数的底数).

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时， 恒成立，求实数的取值范围.

10．设函数.

（1）当时,求函数在点处的切线方程；

（2）对任意的函数恒成立，求实数的取值范围.

11．设函数，其中， 是自然对数的底数.

（Ⅰ）若是上的增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）若，证明： .

12．已知函数（）与函数有公共切线．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若不等式对于的一切值恒成立，求的取值范围．

13．已知函数，.

（1）求证：（）；

（2）设，若时，，求实数的取值范围.