专题2.1 导数起源于切线，曲切联系需熟练-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

【题型综述】

导数的几何意义：

函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．

【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．

（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y−y0=f ′(x0)(x−x0)；

（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：

第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))；[来源:学*科*网Z*X*X*K][来源:Zxxk.Com]

第二步：写出过P′(x1，f (x1))的切线方程为y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1)；

第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；

第四步：将x1的值代入方程y−f (x1)=f ′(x1)(x−x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．

求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法

（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；

（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；

（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．

（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．

②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．

【典例指引】

例1．（2013全国新课标Ⅰ卷节选）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2．[来源:学科网]

（Ⅰ）求a，b，c，d的值．

[来源:学科网ZXXK]

例2．设函数．

（1）当时，求函数在区间上的最小值；

（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点，

求证：．

例3．已知函数在点处的切线方程为．[来源:学科网ZXXK]

⑴求函数的解析式；

⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；

⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

【新题展示】

1．【2019吉林一调】已知函数．

当时，求函数在点处的切线方程；

当时，若对任意都有，求实数a的取值范围．

2．【2019北京昌平区期末】已知函数f(x)=lnx-a．

(Ⅰ)若a=-1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)若f(x)恒成立，求实数a的取值范围．

[来源:Z&xx&k.Com]

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

3．【2019浙江浙南名校联盟期末联考】设，函数.

（I）证明：当时，对任意实数，直线总是曲线的切线；

（Ⅱ）若存在实数，使得对任意且，都有，求实数的最小值.

4．【2019河南省期末】已知函数.

（1）若，曲线在点处的切线经过点，求的最小值；

（2）若只有一个零点，且，求的取值范围.

【同步训练】

1．设函数，若函数在处的切线方程为．

（Ⅰ）求实数的值；[来源:Z_xx_k.Com]

（Ⅱ）求函数在上的最大值．

2．已知函数，其导函数的两个零点为-3和0．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）求函数在区间上的最值．

3．设函数的定义域为，若对任意，，都有，则称函数为“”函数．已知函数的图象为曲线，直线与曲线相切于．

（1）求的解析式，并求的减区间；

（2）设，若对任意，函数为“”函数，求实数的最小值．

4．已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；

（3）若方程为实数）有两个正实数根且，求证： ．

5．已知函数在处的切线方程为．

（1）若= ，求证：曲线上的任意一点处的切线与直线和直线围成的三角形面积为定值；

[来源:Zxxk.Com]

6．已知函数（）

（1）若在处取得极大值，求实数的取值范围；

（2）若，且过点有且只有两条直线与曲线相切，求实数的值．

7．已知函数，．

（1）若直线是曲线与曲线的公切线，求；

8．已知函数（为常数），其图像是曲线．

（1）设函数的导函数为，若存在三个实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；

（2）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

9．已知函数，．

（1）若曲线与在公共点处有相同的切线，求实数的值；[来源:Z,xx,k.Com]

（2）当时，若曲线与在公共点处有相同的切线，求证：点唯一；

（3）若， ，且曲线与总存在公切线，求：正实数的最小值．