专题2.6 欲证不等恒成立，差值函数求值域-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

【题型综述】

利用导数解决不等式恒成立问题的策略：

构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．

具体做法如下：

首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．[来源:学§科§网]

证明，时，可以构造函数，如果，则在上是减函数，同时若，由减函数的定义可知，当时，有，即证明．

【典例指引】

例1．已知函数，为其导函数.[来源:学+科+网]

(1) 设，求函数的单调区间；

(2) 若，设，为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为 证明：.

例2．已知定义域为的函数存在两个零点．

（1）求实数的取值范围；

（2）若，求证：．

例3．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的不等式恒成立，证明：且．

【新题展示】

1．【2019福建三明期末】已知函数.

（1）求证：；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

2．【2019陕西渭南质检】已知函数为常数的图象与y轴交于点A，曲线在点A处的切线斜率为．

（1）求a的值及函数的单调区间；

（2）设，证明：当时，恒成立．

3．【2019北京丰台区上学期期末】已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求证：当时，．

4．【2019广东东莞上学期期末调研】已知函数，（且为常数）.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围.

5．【2019北京房山区上学期期末】已知函数

（1）求函数的单调区间；

（2）设实数使得对恒成立，求的取值范围.

6．【2019湖北四地七校联考】已知,设,且,记;

（1）设,其中,试求的单调区间;

（2）试判断弦的斜率与的大小关系,并证明;

（3）证明：当时,.

【同步训练】

1．设函数f（x）=lnx+ax2+x+1．[来源:学。科。网Z。X。X。K]

（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；

（Ⅱ）当a=0时，证明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．

2．已知函数与．

（1）若曲线与直线恰好相切于点，求实数的值；

（2）当时， 恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：

3．已知函数．

(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；[来源:Z*xx*k.Com][来源:Zxxk.Com]

(3)设为正实数，且，求证： ．

4．已知函数，（为常数，其中是自然对数的底数）

（1）讨论函数的单调性

（2）证明：当且时，函数的图象恒在的图象上方．

[来源:学#科#网]

5．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：．

6．设函数，其中．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当，且时证明不等式：

7．设函数，

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当，时，求证：．

[来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:学+科+网]

8．已知函数（）．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴垂直，求的值；

（Ⅱ）若函数有两个极值点，求的取值范围；[来源:学科网ZXXK]

（Ⅲ）证明：当时， ．

[来源:Zxxk.Com]