专题2.8 欲证不等恒成立，结论再造是利器-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

【题型综述】

利用导数解决不等式恒成立问题的策略：

利用导数证明不等式，解决导数压轴题，谨记两点：

（Ⅰ）利用常见结论，如：，，等；

（Ⅱ）利用同题上一问结论或既得结论．

【典例指引】

例1．已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．

（I）求直线的方程及m的值；

（II）若，求函数的最大值．

      （III）当时，求证：

例2．设函数，，其中R，…为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时， 恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）求证： (参考数据：)．

例3．设．

（l）若对一切恒成立，求的最大值；

（2）是否存在正整数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．

【新题展示】

1．【2019安徽安庆上学期期末】（1）已知函数，求函数在时的值域；

（2）函数有两个不同的极值点，，

①求实数的取值范围；

②证明：.

（本题中可以参与的不等式：，）

[来源:Z*xx*k.Com]

2．【2019河南驻马店上学期期末】设和是函数的两个极值点，其中，.

（1）求的取值范围；

（2）若，求的最大值.

3．【2019湖南益阳上学期期末】已知函数.

（1）当时，比较与的大小；

（2）若有两个极值点，求证：.

4．【2019广东韶关1月调研】已知函数（其中是自然对数的底数）.

（1）证明：①当时，；②当时，.

（2）是否存在最大的整数，使得函数在其定义域上是增函数？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

5．【2019天津部分区期末】已知函数，其中.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）记的导函数为，若不等式在区间上恒成立，求的取值范围；

（3）设函数，是函数的导函数，若存在两个极值点，，且满足，求实数的取值范围．

【同步训练】[来源:学*科*网]

1．已知函数，，（其中，为自然对数的底数， ……）．

（1）令，若对任意的恒成立，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．

[来源:学_科_网]

2．设函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若的图象与轴交于两点，且，求的取值范围；

（3）令，，证明：．

3．已知函数．

（1）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（2）当时，恒成立的的取值范围，并证明 ．[来源:学科网ZXXK]

4．已知函数与．

（1）若曲线与直线恰好相切于点，求实数的值；[来源:学科网ZXXK]

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：

[来源:学*科*网Z*X*X*K]

5．已知函数，．

（Ⅰ）若函数与的图像在点处有相同的切线，求的值；

（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；

（Ⅲ）证明： ．

6．已知函数（是自然对数的底数），

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）设，其中为的导函数，证明：对任意，

7．设函数，其中．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当，且时证明不等式：

8．已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；

（3）证明：．

9．已知函数 ．

（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；

（2）求证：．

10．已知函数 (其中，)．

(1)若函数在上为增函数，求实数的取值范围；

(2)当时，求函数在上的最大值和最小值；

(3)当时，求证：对于任意大于1的正整数，都有．[来源:Zxxk.Com]

11．已知函数

(Ⅰ)若有唯一解，求实数的值；

（Ⅱ）证明：当时，

（附： ）

12． 已知函数．

（Ⅰ）若函数有极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当有两个极值点（记为和）时，求证：．

13．已知

（1）求函数在区间上的最小值；

（2）对一切实数恒成立，求实数的取值范围；[来源:学&科&网][来源:Z。xx。k.Com]

（3）证明：对一切，恒成立．

14．已知函数， ．

（I）求的单调区间；

（II）若对任意的，都有，求实数的取值范围．[来源:学科网ZXXK]