专题2.7 欲证不等恒成立，目标调整依形式-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

【题型综述】

利用导数解决不等式恒成立问题的策略：

准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.

【典例指引】

例1．已知函数．

（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数在处取得极值，对，恒成立，

求实数的取值范围；

（Ⅲ）当且时，试比较的大小．

令，则只要证明在上单调递增，

又∵，学科&网

显然函数在上单调递增．

∴，即，

∴在上单调递增，即，

∴当时，有．

例2．已知函数.若函数满足下列条件：

①；②对一切实数，不等式恒成立.

(Ⅰ)求函数的表达式；

(Ⅱ)若对，恒成立，求实数的取值范围；

(Ⅲ)求证：.

(Ⅲ)证明：因为，所以  

要证不等式成立，

即证.    

因为，   学科&网

所以.

所以成立  

例3．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点

（I）求的取值范围；

（II）求证：

【答案】(1) ;(2)详见解析. 学科&网

【思路引导】

 (1) 函数，在定义域内有两个不同的极值点， 令即对求导，按照和分类判断单调性及极限，求出函数的极值，确定a的范围;(2)证明， 即证，， ，构造函数求导判断单调性求出函数的最值，即可证明不等式成立.

（II）由题意及（I）可知，即证

例4．已知函数的图象在处的切线过点， .

（1）若，求函数的极值点；

（2）设是函数的两个极值点，若，证明： .（提示）

【思路引导】

（1）求导，则.又，曲线在处的切线过点利用斜率相等，可得，又，可得，则，可得函数的极值点

（2）由题是方程的两个根，则， ，由，可得， ，∴是函数的极大值， 是函数的极小值，∴要证，只需，计算整理可得 ，令，则，设，利用导数讨论函数的性质即可得证

【新题展示】

1．【2019山西晋中1月适应性考试】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：.[来源:学,科,网Z,X,X,K]

【思路引导】

（1）由题意，求得函数的导数， 分类讨论，即可求解函数的单调区间；

（2）由（1）知，当时，的最大值为，从而要证等价于，即，设，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得证.

【解析】

（1）由题意，得，

若，恒成立，在上是增函数；

若，当时，，是增函数；       [来源:学§科§网Z§X§X§K]

当时，，是减函数；

综上，时，在上是增函数；

时，在上是增函数，在上是减函数.

2．【2019陕西西安西北工业大学附属第一次适应性训练】已知函数，曲线在点处的切线方程为．

求a，b的值；

2若当时，关于x的不等式恒成立，求k的取值范围．

【思路引导】

（1）求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线的方程可得切点，由，的方程，可得，的值；

（2）由题意可得恒成立，即有对恒成立，求导并根据函数单调性情况进行分类讨论，最终获得k取值范围.

【解析】

函数，

导数为，

曲线在点处的切线方程为，

可得，，则，

即有，；

2当时，关于x的不等式恒成立，

可得恒成立，

即有对恒成立，

可设，

导数为，

设，，

，

当时，，在递增，可得，

则在递增，，与题设矛盾；

当，，可得，

3．【2019湖北黄冈上学期元月调研】设函数．

求的单调区间；

当时，若对任意的，都有，求实数的取值范围；

证明不等式.

【思路引导】

求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；问题等价于 对恒成立，令，根据函数的单调性求出的取值范围，从而可得结果； 由知对任意的恒成立，令得：，，累加即可证明结论．

【解析】

，即，

，，

原不等式等价于 对恒成立，令，

则对恒成立，

时，，

故所求a的范围为    

由知不等式对任意的和恒成立，

则对任意的恒成立，令得：

，

，2，，n，再迭加即可，

得

4．【2019福建三明期末质量检测】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：.

【思路引导】

(1)对函数求导，分情况讨论导函数的正负，进而得到单调性；（2）对函数求导，结合极值点的概念得到，，，，构造函数，对函数求导，得到函数单调性即可得到结果.

【解析】

（2）函数的定义域为，，

∵函数有两个极值点，，且.

∴由（1）知，且，，则，

【同步训练】

1．已知函数与.

（1）若曲线与曲线恰好相切于点，求实数的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：. .

【思路引导】

（1）先求出导函数 由 ，解方程可得；

（2）由 在恒成立的必要条件为得，再利用导数研究函数的单调性及最值，从而证明时，对任意 ，总有；（3）由（2）知：时，令，化简可得，再令 ，多个不等式求和，利用对数的运算法则即可的结论.

试题解析：（1）先求出导函数 由 ，解方程可得.

（2）令，则 ，在恒成立的必要条件为.即，又当时，

，，令，则，即，在递减，即，在恒成立的充分条件为.综上，可得：

（3）设为的前n项和，则，要证原不等式，只需证：，由（2）知：时即：（当且仅当时取等号）.令，则

，即：，即， 令 ，多个不等式求和，从而原不等式得证学科&网

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.

2．函数f（x）=

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若a＞0，求证：f（x）≥.

【思路引导】

（Ⅰ）求导整理可得，通过讨论a的取值可得函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a＞0时，故可将问题转化为证≥ 成立即可，构造函数，利用导数可以得到，从而证得原不等式成立。

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减； 在上单调递增，

则．    

要证≥，即证≥，

即证≥0．

令，则，

由解得，由解得，

∴在上单调递减； 在上单调递增；

∴，学科&网

∴  ≥0成立．

从而≥成立．

3．已知函数其中实数为常数且.

（I）求函数的单调区间；

（II）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围及所有极值之和；

（III）在（II）的条件下，记分别为函数的极大值点和极小值点，求证：.

【思路引导】

（1）利用导数并结合实数的不同取值求解单调区间；（2）由（1）可知当时函数有极值，此时 ，再根据根与系数的关系求解；（3）将问题转化为证明当时， 成立的问题，变形得即证，构造函数，利用函数的单调性证明即可。

由或 

由

综上所述，

当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时， 的单调递增区间为， ，单调递减区间学科&网

（III）由（II）知，当，

，.

故原不等式等价于证明当时， ，[来源:学科网ZXXK]

即证.

设函数，则

当时， .

函数在区间单调递减，

由知，

∴

.即. 

从而原不等式得证. 学科&网[来源:Z§xx§k.Com]

点睛：本题的解题过程需要注意以下两点：

（1）分类讨论思想方法的运用，对于题目中出现的参数，要根据题意分为不同的情况去处理，在分类中要做到补充不漏；

（2）对于型的不等式的证明，可通过构造函数，利用函数的单调性和最值去处理，解题时要注意定义域和区间端点函数值的运用。

4．设函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若的图象与轴交于两点，起，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，求证.

（参考知识：若，则有）

【思路引导】

（1）当时，求出，由 可得增区间，由可得减区间；（2）求出函数的导数，由，得到函数的单调区间，根据函数的单调性可得，从而确定的范围；（3）由题意得得，根据不等式的性质，利用分析法可以证明.

（3）由题意得得，

欲证即证即证，

即.

∴，得证.学科&网

5．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当，且时，证明：.

【答案】(1) 单调递减区间为，单调递增区间为；(2)见解析.

【思路引导】

（1）令，得增区间，，得减区间；（2），需证，变量集中.

6．已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）当时，求证：．

【思路引导】

（1）求出，解不等式即可得的单调增区间；（2）等价于，利用导数研究函数的单调性，证明，从而可得结果.

7．已知函数．

（Ⅰ）若函数有零点，其实数的取值范围．

（Ⅱ）证明：当时，．

【思路引导】

（1）求出函数的导数，讨论两种情况，分别研究函数的单调性，求其最值，结合函数的图象和零点定理即可求出的取值范围；（2）问题转化为，令，令，利用导数研究函数的单调性，分类讨论求出函数的最值，即可证明.

试题解析：（1）函数的定义域为.由，得.

①当时， 恒成立，函数在上单调递增，又

，所以函数在定义域上有个零点.

②当时，则时， 时， .所以函数在上单调递减，在上单调递增.当.当，即时，又

8．已知函数.

（1）若在区间有最大值，求整数的所有可能取值；

（2）求证：当时，.

【思路引导】

（1）在区间有最大值，即是在区间有极大值，求出，求出极大值点 ，令 ，从而可得结果；（2）等价于，只需证明即可.

试题解析：（1）f′(x)＝（x2＋x－2）ex，

当x<－2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，

当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，[来源:学科网]

由题知：a＜－2＜a+5，得：－7＜a＜－2，

则a＝－6、－5、－4、－3，学科&网

当a＝－6、－5、－4，显然符合题意，

若a＝－3时，f(－2)＝5e―2，f(2)＝e2，f(－2)＜f(2)，不符合题意，舍去．

故整数a的所有可能取值－6，―5，－4．

（2）f(x)＜－3lnx＋x3+(2x2－4x)ex+7可变为(－x2＋3x－1)ex＜－3lnx＋x3+7，

令g(x)＝(－x2＋3x－1)ex，h(x)=－3lnx＋x3+7，

g′(x)＝(－x2＋x＋2)ex，

0＜x＜2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，

当x＞2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，

g(x)的最大值为g(2)＝e2，h′(x)＝，当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，

当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，h(x)的最小值为h(1)＝8＞e2，

g(x)的最大值小于h(x)的最小值，故恒有g(x)＜h(x)，即f(x)＜－3lnx＋x3+(2x2－4x)ex+7．

9．已知函数.

（1）设，若，求的单调区间；

（2）设，比较与的大小.[来源:Z_xx_k.Com]

【答案】（1）的单调增区间是，单调递减区间是；（2）

【思路引导】

（1）由，得， ，所以的单调增区间是，单调递减区间是。（2）由，所以，即，所以证到了，就证明了，而只需证明所以构造函数，求导可解。

，即，

又，

.

【点睛】本题第二问是关于多元变量不等式成立问题，我们常用的方法是其中一个做变量，其余做参量，如本题以m为变量，所以构造函数，当然以n为变量也可以。另外还有常用的方法就是，当多个变量以整体形式出现时，我们也常用换元的方法，如经常等。这样多个变量就变成了一个变量问题。

10．函数

(1)讨论的单调性；

(2)若函数有两个极值点，且，求证：

【思路引导】

 (1) ，分类讨论，研究的符号情况，进而得到函数的单调区间;(2) 设函数有两个极值点，且， 、是的二根 ，若证成立，只需证对恒成立.设，研究其最值即可.

1) 当即，即时，

时， ，即， 时， ，即

2) 当时，即，即时

时， ，即

或时， ，即

综上:时，在上单减，在上单增；

时，在上单减，在和上单增; 时， 在上单增．

 (2)若函数有两个极值点，且

则必是，则，则，

当时， ， ，

故，故在上单增

故

对恒成立

11．已知函数.

（Ⅰ）判断函数的单调性；

（Ⅱ）求证： .

【答案】（Ⅰ）在和上都是增函数；（Ⅱ）证明见解析

【思路引导】

（1）先对题设条件中函数解析式进行求导，再构造函数对所求得的导函数的值的符号进行判定；（2）先构造函数，再对其求导得到，求出导函数的零点，得到最小值为0，从而证得然后借助函数的单调性，分、、三种情形进行分析推证，使得不等式获证。

（Ⅱ）设，[来源:学科网][来源:学科网ZXXK]

则，得，

∴在上是减函数，在上是增函数，

∴，即.

①当时， ，

∵在上是增函数，

∴，即，∴.

②当时， ，∵在上是增函数，

12．已知函数．

(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围；

(3)设为正实数，且，求证：．

【答案】(1) ；（2）；（3）证明见解析.

【思路引导】

（1）求出导数，由题意可得代入可得，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程；（2）由函数在上为增函数，可得恒成立，既有，当时， ，求得右边函数的最小值，即可得到范围；（3）运用分析法证明，要证，只需证，即证，设，求出导数判断单调性，运用单调递增，即可得证.

（3）要证，只需证，

即证只需证   

设，由（2）知在上是单调函数，又，[来源:学科网ZXXK]

所以，即成立，所以.