专题2.4 极值计算先判断，单调原则不能撼-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）

【题型综述】

函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．

（2）求函数极值的方法：

①确定函数的定义域．

②求导函数．

③求方程的根．

④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．

（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．

【典例指引】

例1．已知函数其中

⑴当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.zxxk.c.o.m   

⑵当时，求函数的单调区间与极值.

②＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：

学科&网

例2．已知函数的图象在处的切线过点，.

（1）若，求函数的极值点；

（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）

【思路引导】

（1）求导，则.又，曲线在处的切线过点利用斜率相等，可得.，又，可得，则，可得函数的极值点.

（2）由题是方程的两个根，则， ，由，可得， ，∴是函数的极大值， 是函数的极小值，∴要证，只需，计算整理可得 ，令，则，设，利用导数讨论函数的性质即可得证.

（2）∵是方程的两个根，∴， ，∵，∴， ，∴是函数的极大值，是函数的极小值，∴要证，只需， ，令，则，设 ，则，函数在上单调递减，∴，∴ 学科&网

例3．已知函数在处有极值10.

（1）求实数的值；

（2）设，讨论函数在区间上的单调性.

【思路引导】

（1）根据题意得到关于m的方程组，解方程组求得即可；（2）先判断函数的单调性，然后根据的取值情况分类讨论判断函数在区间上的单调性．

（2）由（1）可知，

∴学科&网

当变化时， 的变化情况如下表：

⑤当时，在区间上单调递增.

综上所述：

当或时， 在区间上单调递增；

当时， 在区间上上单调递增，在上单调递减；

当时， 在区间上单调递减；

当时， 在区间上单调递减，在上单调递增. 学科&网

点评：解答本题的易错点有两个：（1）在第一问中忽视了对值的检验，因为导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误．（2）第二问中不能熟练地通过对进行分类讨论求解；还有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况．

【新题展示】

1．【2019浙江七彩联盟期中】已知函数．

证明：函数存在唯一的极值点，并求出该极值点；

若函数的极值为1，试证明：．[来源:学科网]

【思路引导】

根据导数和函数的极值的关系即可证明，

证明，只要证，令，利用导数和函数的最值得关系，和函数零点的存在定理，以及利用反证法即可证明．

【解析】

由可得，，

要证明，只要证，

令，

，易知在上单调递增，

且当时，，当时，，

存在唯一的实数，使得，即，

即，，[来源:学科网]

在单调递减，在单调递增，

，

下面证明，

利用反证法，假设，，

即，

即，，

则由可知，

这与矛盾，

，

即，

故．

2．【2019北京石景山区期末】已知函数．

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）当时，若有极小值，求实数a的取值范围．

【思路引导】

（1）将代入，再对函数求导，求出切线斜率，进而即可得出结果；

（2）对函数求导，通过讨论的范围，分别研究函数的单调性，进而可得出结果.

【解析】

令，解得．x，g（x），的变化情况如下表：

①若，即，则，所以不存在变号零点，不合题意．

②若，即时，，．

所以，使得；

且当时，，当时，．

所以当时，x，，f（x）的变化情况如下表：

所以．

3．【2019河南驻马店市期末】已知函数

（1）求函数的单调区间和的极值；

（2）对于任意的，，都有，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）对f（x）求导，再求导，得到二次导数恒大于0，又，得到及的x的范围，即可得到函数的单调区间及极值.

（2）由题意，只需，结合（1）可得最小值为，比较与得到最大值，可求得结论.

【解析】

（2）依题意，只需

由（1）知，在上递减，在上递增，

∴在上的最小值为；

最大值为和中的较大者

而 ，

【同步训练】

1．设， .

（1）令，求的单调区间；[来源:学科网ZXXK]

（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由，根据a的不同取值讨论即可得出单调区间；（2）已知在处取得极大值，故.，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围

（2）由（1）知， .

①当a时， 单调递增.

所以当时， ， 单调递减.当时， ， 单调递增.

所以在处取得极小值，不合题意.

②当时， ，由（1）知在内单调递增，

可得当时， ， 时， ，

所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.

③当时，即时， 在内单调递增，在 内单调递减，学科&网

[来源:学科网]

2．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点

（I）求的取值范围；

（II）求证：

【思路引导】

(1) 函数，在定义域内有两个不同的极值点, 令即对求导,按照和分类判断单调性及极限,求出函数的极值,确定a的范围；(2)证明, 即证,, ,构造函数求导判断单调性求出函数的最值,即可证明不等式成立.

试题解析:（I）令由题意可知,

当

（II）由题意及（I）可知，即证

3．已知函数．

（Ⅰ）若函数在时有极值0，求常数a,b的值；

（Ⅱ）若函数在点处的切线平行于x轴，求实数b的值．

【思路引导】

（1）根据函数的极值点的概念得到，极值点既在切线上又在曲线上，得到参数值.(2)根据导数的几何意义得到，从而得到参数值.

4．已知函数， .

（1）求函数在上的最值；

（2）求函数的极值点.

【思路引导】

（1）对函数进行求导可得，求出极值，比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值；（2）对进行求导可得 ，利用求根公式求出导函数的零点，得到导数与0的关系，判断单调性得其极值.

试题解析：（1）依题意， ,令，解得.因为， ， ，且，故函数在上的最大值为，最小值为.

（2）依题意， ， ，当时，令，则.因为，所以 ，其中， .因为，所以， ，所以当时， ，当时， ，所以函数在上是增函数，在上是减函数，故为函数的极大值点，函数无极小值点.学科&网

5．设函数f（x）=lnx+ax2+x+1．

（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；

（Ⅱ）当a=0时，证明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．

【思路引导】

（1）求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；（2）当a=0时构造函数F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），只要证明F（x）≥=0即可．

（Ⅱ）证明：当a=0时，f（x）=lnx+x+1

令F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），

则F′（x）= •（xex﹣1），

令G（x）=xex﹣1，

则G′（x）=（x+1）ex＞0，（x＞0），

∴函数G（x）在（0，+∞）递增，

又G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，

∴存在唯一c∈（0，1）使得G（c）=0，

且F（x）在（0，c）上单调递减，在（c，+∞）上单调递增，

故F（x）≥F（c）=c•ec﹣lnc﹣c﹣1，

由G（c）=0，得c•ec﹣1=0，得lnc+c=0，[来源:Zxxk.Com]

∴F（c）=0，

∴F（x）≥F（c）=0，

从而证得xex≥f（x）．学科&网

点评：在本题（Ⅱ）的解答中，为了求F（x）的 最小值，通过求导得到F′（x）= •（xex﹣1），不容易判断F（x）的单调性，故构造G（x）=xex﹣1，采用二次求导的方法，在求G（x）零点的过程中遇到了零点不可求的问题，此类问题的解法是利用G（x）的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后理通过整体代换的方法求函数F（x）的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法．

6．已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）.

（1）令，求的单调区间；

（2）已知在处取得极小值，求实数的取值范围.

【思路引导】

（1）求导函数的导数得，再根据是否变号进行分类讨论单调性：当时，导函数不变号，为单调递增；当时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增；（2）由题意得，结合（1）根据导函数单调性分类讨论在处是否为极小值：当时， 在附近先减后增，为极小值；当时，按与零大小关系进行二次讨论：， 单调递增； 在附近先减后增，为极小值；当时，，无极值； 时，单调递减； 在附近先增后减，为极大值；综上可得实数的取值范围.

（3）当时，由（Ⅰ）知在区间单调递减， 在区间单调递增，

所以在处取得最小值，即，

所以函数在上单调递增，

所以在处无极值，不符合题意.

（4）当时， ，由（Ⅰ）知的减区间为，

所以当时， ，当时， ，

所以在处取得极大值，不符合题意，

综上可知，实数的取值范围为.

7．已知函数（）.

（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，且有两个极值点，（），求的取值范围.

【思路引导】

函数在某区间上单调递增，说明函数的导数大于或等于0在该区间上恒成立，分离参数m,利用极值原理求出参数m的取值范围；当时有两个极值点为方程的两个根，根据根与系数关系找出与系数的关系，根据m的范围解出的范围，表示出，根据减元，利用构造函数法求出其取值范围.

8．已知函数．

（1）若函数在和处取得极值，求的值；

（2）在（1）的条件下，当时， 恒成立，求的取值范围．

【思路引导】

（1）求出导函数，利用，且=0，解方程组可求得；（2）利用导数研究函数的单调性，可得函数在时， 的最小值为，只需即可求的取值范围.

（2）由（1）知， ，

当变化时， 随的变化如下表：

∴当时， 的最小值为，

要使恒成立，只要即可，

∴，

∴的取值范围为．

9．已知函数，其中为常数.

（1）当，且时，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；

（2）若，对任意的正整数，当时，求证：.

【思路引导】

（1）令 ，求出 的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；
（Ⅱ） 时，求 的导数，通过讨论 是奇数，偶数，结合函数的单调性证明结论即可．

（2）证：因为，所以.

当为偶数时，令，则

∴所以当时，单调递增，的最小值为.因此

所以成立.

当为奇数时，要证，由于，所以只需证.

令，则，

当时，单调递增，又，

所以当时，恒有,命题成立.

10．已知函数.

(1)求函数的极值点；   

 (2)若f(x)≥x2+1在(0,2)上恒成立,求实数t的取值范围.[来源:学&科&网Z&X&X&K]

【思路引导】

 (1)首先对函数求导，考虑到导函数含有参数，对参数大于等于0,和小于0两种情况进行讨论．[来源:Zxxk.Com]

(2)恒成立问题,首先利用参数分离，得到，再令，原问题转化为，从而求出参数的范围．