专题2.9 函数图象高与低，差值正负恒成立-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）

【题型综述】

数形结合好方法：

对于函数与的函数值大小问题，常常转化为函数的图象在 上方（或下方）的问题解决，而函数值的大小论证则常以构造函数，即利用作差法，转化为论证恒成立问题.

【典例指引】

例1．设函数.

（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；

（2）求证： .

例2．已知函数，（为常数，其中是自然对数的底数）

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当且时，函数的图象恒在的图象上方．

例3．已知函数，为其导函数.

(1) 设，求函数的单调区间；[来源:学科网]

(2) 若， 设，为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为 证明：.

【新题展示】

1．【2019河南周口期末调研】已知函数.

（1）求函数的单调区间；[来源:Z+xx+k.Com]

（2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求的取值范围.

2．【2019北京东城区高三期末】已知函数f（x）=axex-x2-2x．

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．

3．【2019山东济南外国语学校1月段模】已知函数

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，的图象恒在的图象上方，求a的取值范围.

【同步训练】

1．已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，若，证明：当时， 的图象恒在的图象上方；

（3）证明： .

[来源:学#科#网][来源:学科网]

2．已知函数.

（1）求函数的图象在处的切线方程；

（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（3）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.

（参考数据： ， ）.

3．已知函数 ．

（1）当a=1时，x0[1，e]使不等式f（x0）m，求实数m的取值范围；

（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．

4．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围．

5．已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

[来源:Z_xx_k.Com]

[来源:学#科#网Z#X#X#K]

[来源:学科网]

[来源:学科网]

6．已知函数．

（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；[来源:学。科。网]

（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围．

7．已知函数．

（Ⅰ）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；

（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

[来源:Z|xx|k.Com]

8．已知函数.

（1）若，求函数的极小值；

（2）设函数，求函数的单调区间；

（3）若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围，（ ）

9．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设当时，，求实数的取值范围．

10．已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）设函数，求函数的单调区间；

（3）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.

11．已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数).

（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数m，使得对任意的都有函数的图象在函数图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（）