数学必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.2 对数与对数函数4.2.2 对数运算法则同步测试题

4.2.2　对数运算法则

必备知识基础练

1.若ab>0，给出下列四个等式：

①lg(ab)＝lg a＋lg b；

②lg＝lg a－lg b；

③lg2＝lg；

④lg(ab)＝.

其中一定成立的等式的序号是(　　)

A．①②③④  B．①②

C．③④      D．③

2．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是(　　)

A．logaM·logaN＝loga(M＋N)

B.＝loga(M－N)

C．loga＝logamMn

D．logaM＝

3.若lg x－lg y＝a，则 lg3－lg3＝(　　)

A．3a  B.a

C．a  D.

4．计算下列各式的值：

(1)log345－log35；

(2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；

(3).

5.的值是(　　)

A.  B.

C．1  D．2

6．计算：(log43＋log83)log32＝________.

7．设3x＝4y＝36，则＋＝________.

8．已知lg 2＝a，lg 3＝b，那么log512＝________.

关键能力综合练

一、选择题

1．(log29)·(log34)＝(　　)

A.  B.

C．2  D．4

2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是(　　)

A．a－2  B．3a－(1＋a)2

C．5a－2  D．－a2＋3a－1

3．化简：log2＋log2＋log2＋…＋log2等于(　　)

A．5    B．4

C．－5  D．－4

4．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝(　　)

A．a＋b  B．a－b

C．ab   D.

5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)

A.  B．10

C．20  D．100

6．(探究题)已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于(　　)

A．3  B．8

C．4  D．log48

二、填空题

7．若a＝log23，b＝log32，则a·b＝________，lg a＋lg b＝________.

8．若xlog32＝1，则4x＋4－x＝________.

9．(易错题)设lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则log4的值为________．

三、解答题

10．用lg x，lg y，lg z表示下列各式：

(1)lg(xyz)；(2)lg；(3)lg；(4)lg.

学科素养升级练

1．(多选题)已知x，y为正实数，则(　　)

A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y  B．2ln(x＋y)＝2ln x·2ln y

C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y  D．2ln(xy)＝2ln x·2ln y

2．方程lg(4x＋2)＝lg 2x＋lg 3的解是________．

3．(学科素养—数学建模)分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．

(1)根据上述材料，列出分贝y与声压P的函数关系式；

(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？

(3)某运动会开幕式(在某场馆举行)上，精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某记者用仪器测得一次音量达到了90分贝，试求此时场馆内的声压是多少？

4.2.2　对数运算法则

必备知识基础练

1．解析：①②当a<0，b<0时不成立，④当ab＝1时，logab10无意义，∴选D.

答案：D

2．解析：由对数的运算性质知A，B错误；对于C，loga＝logaM＝logaM，logamMn＝logaM，∴C正确．D中(－2)不能做底数，∴D错误，故选C.

答案：C

3．解析：由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.

答案：A

4．解析：(1)原式＝log3＝log39＝log332＝2.

(2)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2

＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2

＝lg 5－lg 2＋2lg 2

＝lg 5＋lg 2＝1.

(3)原式＝

＝

＝.

5．解析：方法一　将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，

即＝＝·＝.

方法二　将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，

即＝＝＝.

答案：A

6．解析：原式＝log32

＝log32

＝＋＝.

答案：

7．解析：由已知分别求出x和y，

∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，

由换底公式得：

x＝＝，y＝＝，

∴＝log363，＝log364，

∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.

答案：1

8．解析：log512＝＝＝.

答案：

关键能力综合练

1．解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4.

答案：D

2．解析：log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)

＝3a－2(a＋1)

＝a－2.

答案：A

3．解析：原式＝log2＝log2＝－5.

答案：C

4．解析：log27＝log23×log37＝ab.

答案：C

5．解析：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m.

＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.

又∵m>0，∴m＝，选A.

答案：A

6．解析：∵2x＝3，∴x＝log23.又log4＝y，

∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋2(log48－log43)

＝log23＋2＝log23＋3－log23＝3.故选A.

答案：A

7．解析：∵a＝log23，b＝log32，

则a·b＝·＝1，

lg a＋lg b＝lg ab＝lg 1＝0.

答案：1　0

8．解析：因为x＝＝log23，所以4x＋4－x＝22x＋2－2x＝2＋2＝2＋2＝9＋＝.

答案：

9．解析：由lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，得

lg(xy)＝lg(x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，

即x2－5xy＋4y2＝0，得＝4或＝1，

又∵x>0，y>0，x－2y>0，∴≠1，

∴log4＝1.

答案：1

易错分析：错误的根本原因是将对数式lg x＋lg y＝2lg(x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件从而误认为＝4或＝1，得出log4＝1或0的错误答案．

10．解析：(1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z.

(2)lg＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.

(3)lg＝lg(xy3)－lg＝lg x＋3lg y－lg z.

(4)lg＝lg－lg(y2z)＝lg x－2lg y－lg z.

学科素养升级练

1．解析：根据指数与对数的运算性质可得2ln x·ln y＝(2ln x)ln y,2ln(xy)＝2ln x＋ln y＝2ln x·2ln y，可知：C，D正确，而A，B都不正确．

答案：CD

2．解析：原方程可化为lg(4x＋2)＝lg(2x×3)，从而可得4x＋2＝2x×3，令t＝2x，则方程可化为t2＋2＝3t，即t2－3t＋2＝0，解得t＝1或t＝2，即2x＝1或2x＝2，所以x＝0或x＝1.经检验，x＝0与x＝1都是原方程的解．

答案：x＝0或x＝1

3．解析：(1)由已知得y＝20lg(其中P0＝2×10－5帕)．

(2)当P＝0.002帕时，

y＝20lg＝20lg 102＝40(分贝)．

由已知条件知40分贝小于60分贝，

所以此地为噪音无害区，声音环境优良．

(3)由题意，得90＝20lg，

则＝104.5，

所以P＝104.5P0

＝104.5×2×10－5

＝2×10－0.5≈0.63(帕)，

即此时场馆内的声压约是0.63帕．