数学4.2.2 对数运算法则测试题

对数运算法则

(15分钟　30分)

1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a= (　　)

A.   B.    C.   D.

【解析】选B.由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,

所以有4-a=.

【补偿训练】

(2020·合肥高一检测)lg 2·log210的值为 (　　)

A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2

【解析】选C.lg 2·log210=lg 2·=1.

2.lg= (　　)

A.-4　 B.4　  C.10　 D.-10

【解析】选A.lg=lg 10-4=-4.

3.若lg x=m,lg y=n,则lg -lg的值为 (　　)

A.m-2n-2　   B.m-2n-1

C.m-2n+1    D.m-2n+2

【解析】选D.因为lg x=m,lg y=n,

所以lg -lg=lg x-2lg y+2=m-2n+2.

4.实数a,b满足2a=5b=10,则下列关系正确的是 (　　)

A.+=2   B.+=1

C.+=2   D.+=

【解析】选B.因为2a=5b=10,所以a=log2 10,b=log5 10,所以=lg 2,=lg 5,所以+=lg 2+lg 5=lg(2×5)=1.

5.计算log525+ln -(0.64=________. 

【解析】原式=2+-=.

答案:

6.(1)计算:(lg 2)2+(lg 2+3)lg 5+lg 4.

(2)已知log53=a,log54=b,用a,b表示log25144.

【解析】(1)原式=(lg 2)2+lg 2lg 5+3lg 5+lg 4=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5+2(lg 2+lg 5)=lg 2+lg 5+2=3.

(2)因为log53=a,log54=b,

所以log25144=log512=log53+log54=a+b.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分,共20分)

1.(2020·北京高一检测)若lg a-2lg 2=1,则a= (　　)

A.4  B.10   C.20   D.40

【解析】选D.lg a-2lg 2=1化为lg a-lg 22=1,即lg=1,所以,=10,a=40.

2.已知3x=5y=a,且 +=2,则a的值为 (　　)

A. B.15   C.±  D.225

【解析】选A.因为3x=5y=a 所以xlg 3=ylg 5=lg a,

所以=,=,

则2=+== ,

所以lg a2=lg 15,

因为a>0所以a=.

3.已知实数a,b满足ab=ba,且logab=2,则ab= (　　)

A.　  B.2　  C.4　  D.8

【解析】选D.因为实数a,b满足logab=2,故a2=b,

又由ab=ba得=a2a,解得:a=2,或a=0(舍去),故b=4,ab=8.

4.已知2×9x-28=,则x= (　　)

A.log 37-log32　 B.lo4

C.2log32　   D.log37

【解析】选C.已知2×9x-28=,

所以2×(3x)2-28-3x=0,

即(3x-4)(2·3x+7)=0,

解得3x=4,则x=log34=2log32.

二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

5.已知x,y为正实数,则 (　　)

A.2ln x+ln y=2ln x+2ln y   B.2ln(x+y)=2ln x·2ln y

C.2ln x·ln y=(2ln x)ln y   D.2ln(xy)=2ln x·2ln y

【解析】选CD.根据指数与对数的运算性质可得2ln x·ln y=(2ln x)ln y,2ln(xy)=2ln x+ln y=

2ln x·2ln y,可知:C,D正确,而A,B都不正确.

6.若ab>0,有下列四个等式:

①lg(ab)=lg a+lg b;②lg =lg a-lg b;

③lg=lg ;④lg(ab)=,其中不正确的是 (　　)

A.①  B.②  C.③  D.④

【解析】选ABD.①②式成立的前提是a>0,b>0;④式成立的前提是ab≠1.只有③式成立.

三、填空题(每小题5分,共10分)

7.lg+3lg 2-+e0=________. 

【解析】lg+3lg 2-+e0

=lg-2+1=1.

答案:1

【补偿训练】

+log2(47×25)-πln=________. 

【解析】+log2(47×25)-πln

=4-π+log2219+π=4+19=23.

答案:23

8.已知logab+3logba=,则logab=________,当a>b>1时,的值为_______. 

【解析】因为logab+3logba=,所以logab+=,所以2(logab)2-13logab+6=0,解得logab=6或,因为a>b>1,所以0<logab<1,所以logab=,所以=b,所以==1.

答案:6或　1

四、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z.

【解析】令2x=3y=5z=k(k>0),

所以x=log2k,y=log3k,z=log5k,

所以=logk2,=logk3,=logk5,

由++=1,

得logk2+logk3+logk5=logk30=1,

所以k=30,所以x=log230=1+log215,

y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.

10.(1)计算:log3+lg 5++log23·log94+lg 2;

(2)若a,b分别是方程(lg x)2-lg x2+=0的两个实根,求lg ·的值.

【解析】(1)原式=log3+lg 5+2+·+lg 2=-1++3=-+1+3=.

(2)根据题意,lg a,lg b是方程t2-2t+=0的两个实根,则lg a+lg b=2,

lg a·lg b=,

原式=

=·

=·

=2×=12.

1.方程log2(x+2)=1+log4(6-x)的解为x=________. 

【解析】由log2(x+2)=1+log4(6-x),

得:log2(x+2)=log2(2),

所以x+2=2,解得x=2或-10(舍去).

答案:2

2.若a,b,c∈N*,且满足a2+b2=c2.

(1)求log2+log2的值.

(2)若log4=1,log8(a+b-c)=,求a,b,c的值.

【解析】(1)因为a2+b2=c2,所以log2

+log2=log2

=log2

=log2=log2=1.

(2)因为log4=1,所以=4.

即3a-b-c=0.①

因为log8(a+b-c)=,所以a+b-c=4.②

因为a2+b2=c2,③且a,b,c∈N*,

所以由①②③解得a=6,b=8,c=10.

【补偿训练】

已知二次函数f(x)=x2+2x+4lg a的最小值为3,求+loga2·loga50的值.

【解析】因为 f(x)=x2+2x+4lg a存在最小值为3,所以 lg a>0,f=

f =lg a×+2× +4lg a=4lg a-=3,

即4-3lg a-1=0,

所以 (4lg a+1)(lg a-1)=0,

则lg a=1,或lg a=-(舍去),

所以 a=10.

所以 +loga2·loga50=+lg 2·lg 50=+lg 2=

lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=1.