还剩23页未读，
继续阅读
2020-2021学年12.2 证明课后练习题
展开
这是一份2020-2021学年12.2 证明课后练习题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
12.2证明（3）-苏科版七年级数学下册 培优训练
一、选择题
1、如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，则∠BFC的度数是（ ）
A．117° B．120° C．132° D．107°
2、如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝24°，
则∠CDE＝（ ）
A．24° B．20° C．15° D．12°
3、如图,在△ABC中,∠A=50°,∠1=30°,∠2=40°,∠D的度数是 ( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
4、将一副三角尺摆放成如图所示的形状，图中∠1＝________°.
5、如图,点D在△ABC的边AB的延长线上,DE∥BC,则下列结论正确的是 ( )
A.∠A=∠D=∠C B.∠D=∠A-∠C C.∠A=∠D-∠C D.∠D=∠C-∠A
6、一副分别含有30°和45°角的三角尺，拼成如图所示的图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，
则∠BFD的度数是( )
A．15° B．25° C．30° D．10°
7、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,将△BDC沿CD折叠,点B恰好落在AC边上的点B'处,若∠ADB'=20°,则∠A的度数为 ( )
A.20° B.25° C.35° D.40°
8、如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
9、如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，与∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，若∠A＝60°，则∠E的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
10、如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB∠CGE．
其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11、如图，在△ABC中，∠B＝60°，外角∠ACD＝100°，则∠A＝______．
12、如图，△ABC的两条高线AD，BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠ABF的度数为___．
13、如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,BC边上.比较大小:∠A+∠C ∠1+∠2.(填“>”“=”或“<”)
14、如图所示，∠ACD是△BC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
∠E＝ ．
15、如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ABF=________．
16、小明把一副含45°，30°角的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，
则∠1+∠2等于_________．
17、如图，线段AD、BE、CF相交于同一点O，连接AB、CD、EF，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝
18、如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°．
19、如图，在△ABC中，∠A=80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分的交点，点P是∠BOC，∠BCO角平分线的交点，若∠P=100°，则∠ACB的度数是___________．
20、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC、BC的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子：（1）∠1=（∠2+∠3）；（2）∠1＝2（∠3﹣∠2）；（3）∠4=（∠3﹣∠2）；
（4）∠4=∠1． 其中有两个式子是正确的，它们是 和 ．
三、解答题
21、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求∠CEB的度数．
22、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且∠ADE=∠B．求：∠CDE的度数．
23、已知：如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数是________(直接写出答案)；
(2)写出∠DAE，∠B，∠C的数量关系：______________，并证明你的结论．
24、如图，在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D.
(1)如图①，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由．
(2)如图②，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.
①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数．
25、已知:如图,PQ∥MN,△ABC的顶点A与B分别在MN与PQ上,∠C=45°,设∠CBQ=∠α,∠CAN=∠β.
(1)如图①,当点C落在PQ的上方时,AC与PQ交于点D,求证:∠β=∠α+45°;
(2)如图②,当点C落在MN的下方时,BC与MN交于点F,请判断∠α与∠β的数量关系,并说明理由.
26、如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．
27、 (1)如图ⓐ,△OAB,△OCD的顶点O重合,且∠A+∠B+∠C+∠D=180°,
则∠AOB+∠COD= °(直接写出结果).
(2)连接AD,BC,若AO,BO,CO,DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.
①如图ⓑ,如果∠AOB=110°,那么∠COD的度数为 (直接写出结果);
②如图ⓒ,若∠AOD=∠BOC,则AB与CD平行吗?为什么?
28、直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，∠BAO＝70°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB的度数．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是
∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数．
29、阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，
∠2＝135°，求∠A的度数．
12.2证明（3）-苏科版七年级数学下册 培优训练（解析）
一、选择题
1、如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，则∠BFC的度数是（ ）
A．117° B．120° C．132° D．107°
【分析】先利用三角形外角的性质求出∠BDC＝97°，进而利用三角形的外角的性质即可得出结论
【解答】解：∵∠A＝62°，∠ACD＝35°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝97°，
∵∠ABE＝20°，
∴∠BFC＝∠BDC+∠ABE＝117°，
故选：A．
2、如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝24°，
则∠CDE＝（ ）
A．24° B．20° C．15° D．12°
【分析】先根据三角形外角的性质得出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+24°，∠AED＝∠C+∠EDC，再根据∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED即可得出结论．
【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+24°，
∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠C+∠EDC，
∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∴∠C+∠EDC＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+24°﹣∠EDC，
解得∠EDC＝12°．
故选：D．
3、如图,在△ABC中,∠A=50°,∠1=30°,∠2=40°,∠D的度数是 ( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
[解析] ∵∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°,
∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-∠1-∠2=130°-30°-40°=60°,
∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)=120°.
故选B.
4、将一副三角尺摆放成如图所示的形状，图中∠1＝________°.
[解析] 如图，由图可知∠2＝30°，∠3＝90°，∴∠1＝∠2＋∠3＝30°＋90°＝120°.
5、如图,点D在△ABC的边AB的延长线上,DE∥BC,则下列结论正确的是 ( )
A.∠A=∠D=∠C B.∠D=∠A-∠C C.∠A=∠D-∠C D.∠D=∠C-∠A
[答案] C
[解析] ∵DE∥BC,∴∠D=∠DBC.
∵∠DBC=∠C+∠A,∴∠D=∠C+∠A,
∴∠A=∠D-∠C.
6、一副分别含有30°和45°角的三角尺，拼成如图所示的图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，
则∠BFD的度数是( )
A．15° B．25° C．30° D．10°
[答案] A
[解析] 在△DCE中，∠C＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDC＝60°.又∵∠B＝45°，∴∠BFD＝60°－45°＝15°.
7、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,将△BDC沿CD折叠,点B恰好落在AC边上的点B'处,若∠ADB'=20°,则∠A的度数为 ( )
A.20° B.25° C.35° D.40°
[解析] ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.
∵△B'DC是由△BDC翻折得到的,∴∠CB'D=∠B.
∵∠CB'D=∠A+∠ADB'=∠A+20°,∴∠B=∠A+20°,
∴∠A+∠A+20°+90°=180°,解得∠A=35°.
故选C.
8、如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，代入计算即可．
【解答】解：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，
∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，
∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．
故选：C．
9、如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，与∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，若∠A＝60°，则∠E的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】运用四边形的内角和等于360°，可求∠DCB的度数，再利用角平分线的性质可求∠E的度数．
【解析】∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∵∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，
∴∠CDE＝∠CBE＝45°，
∴∠E＝120°﹣45°﹣45°＝30°
故选：D．
10、如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB∠CGE．
其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】①正确．利用平行线的性质证明即可．
②正确．首先证明∠ECG＝∠ABC，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．
③错误．假设结论成立，推出不符合题意即可．
④正确．证明∠DFB＝45°即可解决问题．
【解析】∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠BCA，
∵CD平分∠ACB，∴∠BCA＝2∠DCB，∴∠CEG＝2∠DCB，故①正确，
∵CG⊥EG，∴∠G＝90°，∴∠GCE+∠CEG＝90°，
∵∠A＝90°，∴∠BCA+∠ABC＝90°，
∵∠CEG＝∠ACB，∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠GCD，故②正确，
假设AC平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，
∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故③错误，
∵∠DFB＝∠FCB+∠FBC=（∠ACB+∠ABC）＝45°，∠CGE＝45°，
∴∠DFB=∠CGE，故④正确，
故选：B．
二、填空题
11、如图，在△ABC中，∠B＝60°，外角∠ACD＝100°，则∠A＝______．
【答案】40°
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：由三角形的外角的性质可知，∠A=∠ACD-∠B=40°，故答案为：40°．
12、如图，△ABC的两条高线AD，BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠ABF的度数为___．
【答案】15°
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠DAC的度数，从而求得∠AFE的度数，再根据三角形外角性质，即可得解．
【详解】∵AD为△ABC的高线，∴∠ADC=90°，∵∠C=60°，∴∠DAC=90°-∠C=30°，
∵BE为△ABC的高线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-∠FAE=90°-30°=60°，
∵∠AFE是△BFA的外角，∴∠ABF=60°-45°=15°，故答案为：15°．
13、如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,BC边上.比较大小:∠A+∠C ∠1+∠2.(填“>”“=”或“<”)
[答案]=
[解析] ∵∠A+∠C+∠B=180°,∠1+∠2+∠B=180°,
∴∠A+∠C=180°-∠B,∠1+∠2=180°-∠B,
∴∠A+∠C=∠1+∠2.
14、如图所示，∠ACD是△BC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
∠E＝ ．
【分析】先根据外角定理和∠A＝45°，得出∠ACD﹣∠ABC＝45°，再利用角平分线的定义得：∠ACD﹣∠ABC＝20°，即∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝22.5°．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵∠A＝45°，∴∠ACD﹣∠ABC＝45°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的一个外角，∴∠ECD＝∠EBC+∠E，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝22.5°．
故答案为22.5°
15、如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ABF=________．
【答案】15°
【考点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由一副常用的三角板的特点可知，∠EAD=45°，∠BFD=30°，
∴∠ABF=∠EAD﹣∠BFD=15°，
故答案为：15°．
16、小明把一副含45°，30°角的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，
则∠1+∠2等于_________．
【答案】210°
【分析】由三角形外角定理可得，，
故＝＝，根据角的度数代入即可求得．
【解析】∵，，
∴＝＝＝＝210°．
故答案为：210°．
17、如图，线段AD、BE、CF相交于同一点O，连接AB、CD、EF，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ．
【分析】根据一周角等于360°以及对顶角相等可得以O为顶点的三个内角的和为180°，再根据三角形内角和定理解答即可．
【解析】如图所示，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+（∠1+∠2+∠3）＝3×180°＝540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝540°﹣180°＝360°．
故答案为：360°．
18、如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°．
【答案】20
【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．
【解析】，将沿着翻折得到，
，，
，故答案为20
19、如图，在△ABC中，∠A=80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分的交点，点P是∠BOC，∠BCO角平分线的交点，若∠P=100°，则∠ACB的度数是___________．
【答案】60°
【分析】设∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y，由∠P=100°，推出x+y=80°，推出2x+2y=160°，推出∠OBC=180°-160°=20°，可得∠ABC=40°，由此即可解决问题．
【详解】解：设∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y，
∵∠P=100°，∴x+y=80°，∴2x+2y=160°，∴∠OBC=180°-160°=20°，
∵BO平分∠ABC，∴∠ABC=40°，∵∠A=80°，∴∠ACB=180°-40°-80°=60°．故答案为60°．
20、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC、BC的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子：（1）∠1=（∠2+∠3）；（2）∠1＝2（∠3﹣∠2）；（3）∠4=（∠3﹣∠2）；
（4）∠4=∠1． 其中有两个式子是正确的，它们是 和 ．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，EG⊥AD，∴∠BAD=∠BAC，∠AHE＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠BAD＝90°-∠BAC，
而∠BAC＝180°﹣∠2﹣∠3，∴∠1＝90°-（180°﹣∠2﹣∠3）=（∠2+∠3）；
又∵∠1＝∠2+∠4，∴∠4＝∠1﹣∠2=（∠2+∠3）﹣∠2=（∠3﹣∠2）；
故答案为：（1），（3）．
三、解答题
21、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求∠CEB的度数．
【解答】解：∵BE∥AD，∴∠BAD＝∠ABE＝20°，
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°，
在Rt△BCE中，∠CEB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣20°＝70°．
22、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且∠ADE=∠B．求：∠CDE的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，
∵∠ADE=∠B＝20°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣20°＝50°．
23、已知：如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数是________(直接写出答案)；
(2)写出∠DAE，∠B，∠C的数量关系：______________，并证明你的结论．
解：(1)∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°.
又∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE＝∠BAC＝50°.
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，∴∠CAD＝180°－∠ADC－∠C＝180°－90°－50°＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝10°.
故答案为10°.
(2)∠DAE＝(∠C－∠B)
证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝90°－∠C.
∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC＝∠BAC.
∵∠BAC＝180°－∠B－∠C，
∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝∠BAC－(90°－∠C)＝(180°－∠B－∠C)－90°＋∠C
＝90°－∠B－∠C－90°＋∠C＝(∠C－∠B)．
24、如图，在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D.
(1)如图①，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由．
(2)如图②，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.
①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数．
解：(1)∠AOC＝∠ODC.
理由：∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC＋∠OCA＝(∠BAC＋∠ACB)＝(180°－∠ABC)．
∵∠OBC＝∠ABC，
∴∠AOC＝180°－(∠OAC＋∠OCA)＝90°＋∠ABC＝90°＋∠OBC.
∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴∠ODC＝90°＋∠OBD，∴∠AOC＝∠ODC.
(2)①证明：∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF＝∠ABE＝(180°－∠ABC)＝90°－∠OBD.
∵∠ODB＝90°－∠OBD，∴∠EBF＝∠ODB，∴BF∥OD.
②∵BF平分∠ABE，∴∠FBE＝∠ABE＝(∠BAC＋∠ACB)．
∵∠BCF＝∠ACB，
∴∠F＝∠FBE－∠BCF＝(∠BAC＋∠ACB)－∠ACB＝∠BAC.
∵∠F＝35°，∴∠BAC＝2∠F＝70°.
25、已知:如图,PQ∥MN,△ABC的顶点A与B分别在MN与PQ上,∠C=45°,设∠CBQ=∠α,∠CAN=∠β.
(1)如图①,当点C落在PQ的上方时,AC与PQ交于点D,求证:∠β=∠α+45°;
(2)如图②,当点C落在MN的下方时,BC与MN交于点F,请判断∠α与∠β的数量关系,并说明理由.
解:(1)证明:∵∠CDQ是△CBD的一个外角,∴∠CDQ=∠α+∠C.
∵PQ∥MN,∴∠CDQ=∠β,∴∠β=∠α+∠C.
∵∠C=45°,∴∠β=∠α+45°.
(2)∠α=∠β+45°.理由如下:∵∠CFN是△ACF的一个外角,∴∠CFN=∠β+∠C.
∵PQ∥MN,∴∠CFN=∠α,∴∠α=∠β+∠C.∵∠C=45°,∴∠α=∠β+45°.
26、如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．
【分析】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE；
（2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．
【解析】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，
∴∠AEF＝∠AFE；
（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，
∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，
∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．
27、 (1)如图ⓐ,△OAB,△OCD的顶点O重合,且∠A+∠B+∠C+∠D=180°,
则∠AOB+∠COD= °(直接写出结果).
(2)连接AD,BC,若AO,BO,CO,DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.
①如图ⓑ,如果∠AOB=110°,那么∠COD的度数为 (直接写出结果);
②如图ⓒ,若∠AOD=∠BOC,则AB与CD平行吗?为什么?
解:(1)∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D=180°×2=360°,∠A+∠B+∠C+∠D=180°,
∴∠AOB+∠COD=360°-180°=180°.故答案为180.
(2)①∵AO,BO,CO,DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线,
∴∠OAB=∠DAB,∠OBA=∠CBA,∠OCD=∠BCD,∠ODC=∠ADC,
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=(∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC).
∵在四边形ABCD中,∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC=360°,
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=×360°=180°.
在△OAB中,∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB,
在△OCD中,∠OCD+∠ODC=180°-∠COD,
∴180°-∠AOB+180°-∠COD=180°,
∴∠AOB+∠COD=180°.
∵∠AOB=110°,∴∠COD=180°-110°=70°.
故答案为70°.
②AB∥CD.理由如下:
∵AO,BO,CO,DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线,
∴∠OAB=∠DAB,∠OBA=∠CBA,∠OCD=∠BCD,∠ODC=∠ADC,
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=(∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC).
∵在四边形ABCD中,∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC=360°,
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=×360°=180°.
在△OAB中,∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB,
在△OCD中,∠OCD+∠ODC=180°-∠COD,
∴180°-∠AOB+180°-∠COD=180°,∴∠AOB+∠COD=180°,
∴∠AOD+∠BOC=360°-(∠AOB+∠COD)=360°-180°=180°.
∵∠AOD=∠BOC,∴∠AOD=∠BOC=90°.
在△AOD中,∠DAO+∠ADO=180°-∠AOD=180°-90°=90°.
∵∠DAO=∠DAB,∠ADO=∠ADC, ∴∠DAB+∠ADC=90°,
∴∠DAB+∠ADC=180°,∴AB∥CD.
28、直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，∠BAO＝70°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB的度数．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是
∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数．
【分析】（1）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义计算即可．
（2）延长AD、BC交于点F，先求得∠PAB+∠MBA＝240°，再根据AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，求得∠BAD+∠ABC＝120°，进而得出∠F＝60°，再根据三角形内角和定理得到∠FDC+∠FCD＝1120°，即∠CDA+∠DCB＝240°，最后根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，得到∠CDE+∠DCE＝120°，进而在△CDE中，根据三角形内角和定理求得∠E＝60°．
（3）由（2）可知，∠EDC+∠ECD＝120°，因为△ECD中有一个角是另一个角的2倍，推出∠ECD＝2∠EDC或∠EDC＝2∠ECD，由此即可解决问题．
【解析】（1）如图1中，∵BE平分∠ABO，AE平分∠BAO，
∴∠EBA+∠EAB（∠ABO+∠BAO）=（180°﹣∠AOB）＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠EBA+∠EAB）＝120°．
（2）∠CED的大小不变．
如图2，延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ相交于O，∴∠AOB＝60°，∴∠OAB+∠OBA＝120°，
∴∠PAB+∠MBA＝240°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）＝120°，∴∠F＝60°，
∴∠FDC+∠FCD＝120°，∴∠CDA+∠DCB＝240°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝120°，
∴△CDE中，∠E＝180°﹣120°＝60°．
（3）由（2）可知，∠EDC+∠ECD＝120°，
∵△ECD中有一个角是另一个角的2倍，
∴∠ECD＝2∠EDC或∠EDC＝2∠ECD，
∴∠DCE＝40°或80°．
29、阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，
∠2＝135°，求∠A的度数．
【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；
（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．
【解答】解；（1）如图1，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣60°）＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD ∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A ∴∠OCD=（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC=∠ABC+∠A-∠ABC=∠A＝30°
如图3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∴∠OBC=∠EBC，∠OCB=∠BCD
∴∠OBC+∠OCB=（∠EBC+∠BCD）=（∠A+∠ACB+∠BCD）（∠A+180°）
=（60°+180°）＝120°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2
∴∠O2BC=∠ABC，∠O2CB=∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C
∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣60°）＝80°
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°∴∠BO2O1=∠BO2C＝50°
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°-（∠ABC+∠ACB）＝180°-（180°﹣∠A）
＝90°+∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，∴∠A＝70°．
12.2证明（3）-苏科版七年级数学下册 培优训练
一、选择题
1、如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，则∠BFC的度数是（ ）
A．117° B．120° C．132° D．107°
2、如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝24°，
则∠CDE＝（ ）
A．24° B．20° C．15° D．12°
3、如图,在△ABC中,∠A=50°,∠1=30°,∠2=40°,∠D的度数是 ( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
4、将一副三角尺摆放成如图所示的形状，图中∠1＝________°.
5、如图,点D在△ABC的边AB的延长线上,DE∥BC,则下列结论正确的是 ( )
A.∠A=∠D=∠C B.∠D=∠A-∠C C.∠A=∠D-∠C D.∠D=∠C-∠A
6、一副分别含有30°和45°角的三角尺，拼成如图所示的图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，
则∠BFD的度数是( )
A．15° B．25° C．30° D．10°
7、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,将△BDC沿CD折叠,点B恰好落在AC边上的点B'处,若∠ADB'=20°,则∠A的度数为 ( )
A.20° B.25° C.35° D.40°
8、如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
9、如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，与∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，若∠A＝60°，则∠E的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
10、如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB∠CGE．
其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11、如图，在△ABC中，∠B＝60°，外角∠ACD＝100°，则∠A＝______．
12、如图，△ABC的两条高线AD，BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠ABF的度数为___．
13、如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,BC边上.比较大小:∠A+∠C ∠1+∠2.(填“>”“=”或“<”)
14、如图所示，∠ACD是△BC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
∠E＝ ．
15、如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ABF=________．
16、小明把一副含45°，30°角的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，
则∠1+∠2等于_________．
17、如图，线段AD、BE、CF相交于同一点O，连接AB、CD、EF，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝
18、如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°．
19、如图，在△ABC中，∠A=80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分的交点，点P是∠BOC，∠BCO角平分线的交点，若∠P=100°，则∠ACB的度数是___________．
20、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC、BC的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子：（1）∠1=（∠2+∠3）；（2）∠1＝2（∠3﹣∠2）；（3）∠4=（∠3﹣∠2）；
（4）∠4=∠1． 其中有两个式子是正确的，它们是 和 ．
三、解答题
21、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求∠CEB的度数．
22、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且∠ADE=∠B．求：∠CDE的度数．
23、已知：如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数是________(直接写出答案)；
(2)写出∠DAE，∠B，∠C的数量关系：______________，并证明你的结论．
24、如图，在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D.
(1)如图①，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由．
(2)如图②，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.
①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数．
25、已知:如图,PQ∥MN,△ABC的顶点A与B分别在MN与PQ上,∠C=45°,设∠CBQ=∠α,∠CAN=∠β.
(1)如图①,当点C落在PQ的上方时,AC与PQ交于点D,求证:∠β=∠α+45°;
(2)如图②,当点C落在MN的下方时,BC与MN交于点F,请判断∠α与∠β的数量关系,并说明理由.
26、如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．
27、 (1)如图ⓐ,△OAB,△OCD的顶点O重合,且∠A+∠B+∠C+∠D=180°,
则∠AOB+∠COD= °(直接写出结果).
(2)连接AD,BC,若AO,BO,CO,DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.
①如图ⓑ,如果∠AOB=110°,那么∠COD的度数为 (直接写出结果);
②如图ⓒ,若∠AOD=∠BOC,则AB与CD平行吗?为什么?
28、直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，∠BAO＝70°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB的度数．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是
∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数．
29、阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，
∠2＝135°，求∠A的度数．
12.2证明（3）-苏科版七年级数学下册 培优训练（解析）
一、选择题
1、如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，则∠BFC的度数是（ ）
A．117° B．120° C．132° D．107°
【分析】先利用三角形外角的性质求出∠BDC＝97°，进而利用三角形的外角的性质即可得出结论
【解答】解：∵∠A＝62°，∠ACD＝35°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝97°，
∵∠ABE＝20°，
∴∠BFC＝∠BDC+∠ABE＝117°，
故选：A．
2、如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝24°，
则∠CDE＝（ ）
A．24° B．20° C．15° D．12°
【分析】先根据三角形外角的性质得出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+24°，∠AED＝∠C+∠EDC，再根据∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED即可得出结论．
【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+24°，
∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED＝∠C+∠EDC，
∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∴∠C+∠EDC＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+24°﹣∠EDC，
解得∠EDC＝12°．
故选：D．
3、如图,在△ABC中,∠A=50°,∠1=30°,∠2=40°,∠D的度数是 ( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
[解析] ∵∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°,
∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-∠1-∠2=130°-30°-40°=60°,
∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)=120°.
故选B.
4、将一副三角尺摆放成如图所示的形状，图中∠1＝________°.
[解析] 如图，由图可知∠2＝30°，∠3＝90°，∴∠1＝∠2＋∠3＝30°＋90°＝120°.
5、如图,点D在△ABC的边AB的延长线上,DE∥BC,则下列结论正确的是 ( )
A.∠A=∠D=∠C B.∠D=∠A-∠C C.∠A=∠D-∠C D.∠D=∠C-∠A
[答案] C
[解析] ∵DE∥BC,∴∠D=∠DBC.
∵∠DBC=∠C+∠A,∴∠D=∠C+∠A,
∴∠A=∠D-∠C.
6、一副分别含有30°和45°角的三角尺，拼成如图所示的图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，
则∠BFD的度数是( )
A．15° B．25° C．30° D．10°
[答案] A
[解析] 在△DCE中，∠C＝90°，∠E＝30°，
∴∠EDC＝60°.又∵∠B＝45°，∴∠BFD＝60°－45°＝15°.
7、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,将△BDC沿CD折叠,点B恰好落在AC边上的点B'处,若∠ADB'=20°,则∠A的度数为 ( )
A.20° B.25° C.35° D.40°
[解析] ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.
∵△B'DC是由△BDC翻折得到的,∴∠CB'D=∠B.
∵∠CB'D=∠A+∠ADB'=∠A+20°,∴∠B=∠A+20°,
∴∠A+∠A+20°+90°=180°,解得∠A=35°.
故选C.
8、如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，代入计算即可．
【解答】解：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，
∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，
∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．
故选：C．
9、如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，与∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，若∠A＝60°，则∠E的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】运用四边形的内角和等于360°，可求∠DCB的度数，再利用角平分线的性质可求∠E的度数．
【解析】∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∵∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，
∴∠CDE＝∠CBE＝45°，
∴∠E＝120°﹣45°﹣45°＝30°
故选：D．
10、如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB∠CGE．
其中正确的结论是（ ）
A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】①正确．利用平行线的性质证明即可．
②正确．首先证明∠ECG＝∠ABC，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．
③错误．假设结论成立，推出不符合题意即可．
④正确．证明∠DFB＝45°即可解决问题．
【解析】∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠BCA，
∵CD平分∠ACB，∴∠BCA＝2∠DCB，∴∠CEG＝2∠DCB，故①正确，
∵CG⊥EG，∴∠G＝90°，∴∠GCE+∠CEG＝90°，
∵∠A＝90°，∴∠BCA+∠ABC＝90°，
∵∠CEG＝∠ACB，∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠GCD，故②正确，
假设AC平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，
∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故③错误，
∵∠DFB＝∠FCB+∠FBC=（∠ACB+∠ABC）＝45°，∠CGE＝45°，
∴∠DFB=∠CGE，故④正确，
故选：B．
二、填空题
11、如图，在△ABC中，∠B＝60°，外角∠ACD＝100°，则∠A＝______．
【答案】40°
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
【详解】解：由三角形的外角的性质可知，∠A=∠ACD-∠B=40°，故答案为：40°．
12、如图，△ABC的两条高线AD，BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠ABF的度数为___．
【答案】15°
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠DAC的度数，从而求得∠AFE的度数，再根据三角形外角性质，即可得解．
【详解】∵AD为△ABC的高线，∴∠ADC=90°，∵∠C=60°，∴∠DAC=90°-∠C=30°，
∵BE为△ABC的高线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-∠FAE=90°-30°=60°，
∵∠AFE是△BFA的外角，∴∠ABF=60°-45°=15°，故答案为：15°．
13、如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,BC边上.比较大小:∠A+∠C ∠1+∠2.(填“>”“=”或“<”)
[答案]=
[解析] ∵∠A+∠C+∠B=180°,∠1+∠2+∠B=180°,
∴∠A+∠C=180°-∠B,∠1+∠2=180°-∠B,
∴∠A+∠C=∠1+∠2.
14、如图所示，∠ACD是△BC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
∠E＝ ．
【分析】先根据外角定理和∠A＝45°，得出∠ACD﹣∠ABC＝45°，再利用角平分线的定义得：∠ACD﹣∠ABC＝20°，即∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝22.5°．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵∠A＝45°，∴∠ACD﹣∠ABC＝45°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，
∵∠ECD是△BCE的一个外角，∴∠ECD＝∠EBC+∠E，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝22.5°．
故答案为22.5°
15、如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ABF=________．
【答案】15°
【考点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由一副常用的三角板的特点可知，∠EAD=45°，∠BFD=30°，
∴∠ABF=∠EAD﹣∠BFD=15°，
故答案为：15°．
16、小明把一副含45°，30°角的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，
则∠1+∠2等于_________．
【答案】210°
【分析】由三角形外角定理可得，，
故＝＝，根据角的度数代入即可求得．
【解析】∵，，
∴＝＝＝＝210°．
故答案为：210°．
17、如图，线段AD、BE、CF相交于同一点O，连接AB、CD、EF，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ．
【分析】根据一周角等于360°以及对顶角相等可得以O为顶点的三个内角的和为180°，再根据三角形内角和定理解答即可．
【解析】如图所示，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+（∠1+∠2+∠3）＝3×180°＝540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝540°﹣180°＝360°．
故答案为：360°．
18、如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°．
【答案】20
【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．
【解析】，将沿着翻折得到，
，，
，故答案为20
19、如图，在△ABC中，∠A=80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分的交点，点P是∠BOC，∠BCO角平分线的交点，若∠P=100°，则∠ACB的度数是___________．
【答案】60°
【分析】设∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y，由∠P=100°，推出x+y=80°，推出2x+2y=160°，推出∠OBC=180°-160°=20°，可得∠ABC=40°，由此即可解决问题．
【详解】解：设∠BCP=∠PCO=x，∠BOP=∠COP=y，
∵∠P=100°，∴x+y=80°，∴2x+2y=160°，∴∠OBC=180°-160°=20°，
∵BO平分∠ABC，∴∠ABC=40°，∵∠A=80°，∴∠ACB=180°-40°-80°=60°．故答案为60°．
20、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC、BC的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子：（1）∠1=（∠2+∠3）；（2）∠1＝2（∠3﹣∠2）；（3）∠4=（∠3﹣∠2）；
（4）∠4=∠1． 其中有两个式子是正确的，它们是 和 ．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，EG⊥AD，∴∠BAD=∠BAC，∠AHE＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠BAD＝90°-∠BAC，
而∠BAC＝180°﹣∠2﹣∠3，∴∠1＝90°-（180°﹣∠2﹣∠3）=（∠2+∠3）；
又∵∠1＝∠2+∠4，∴∠4＝∠1﹣∠2=（∠2+∠3）﹣∠2=（∠3﹣∠2）；
故答案为：（1），（3）．
三、解答题
21、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求∠CEB的度数．
【解答】解：∵BE∥AD，∴∠BAD＝∠ABE＝20°，
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°，
在Rt△BCE中，∠CEB＝90°﹣∠CBE＝90°﹣20°＝70°．
22、如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点，且∠ADE=∠B．求：∠CDE的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝80°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，
∵∠ADE=∠B＝20°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣20°＝50°．
23、已知：如图，在△ABC中，∠B＜∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数是________(直接写出答案)；
(2)写出∠DAE，∠B，∠C的数量关系：______________，并证明你的结论．
解：(1)∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°.
又∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE＝∠BAC＝50°.
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，∴∠CAD＝180°－∠ADC－∠C＝180°－90°－50°＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝10°.
故答案为10°.
(2)∠DAE＝(∠C－∠B)
证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝90°－∠C.
∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC＝∠BAC.
∵∠BAC＝180°－∠B－∠C，
∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝∠BAC－(90°－∠C)＝(180°－∠B－∠C)－90°＋∠C
＝90°－∠B－∠C－90°＋∠C＝(∠C－∠B)．
24、如图，在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D.
(1)如图①，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由．
(2)如图②，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.
①求证：BF∥OD； ②若∠F＝35°，求∠BAC的度数．
解：(1)∠AOC＝∠ODC.
理由：∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC＋∠OCA＝(∠BAC＋∠ACB)＝(180°－∠ABC)．
∵∠OBC＝∠ABC，
∴∠AOC＝180°－(∠OAC＋∠OCA)＝90°＋∠ABC＝90°＋∠OBC.
∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴∠ODC＝90°＋∠OBD，∴∠AOC＝∠ODC.
(2)①证明：∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF＝∠ABE＝(180°－∠ABC)＝90°－∠OBD.
∵∠ODB＝90°－∠OBD，∴∠EBF＝∠ODB，∴BF∥OD.
②∵BF平分∠ABE，∴∠FBE＝∠ABE＝(∠BAC＋∠ACB)．
∵∠BCF＝∠ACB，
∴∠F＝∠FBE－∠BCF＝(∠BAC＋∠ACB)－∠ACB＝∠BAC.
∵∠F＝35°，∴∠BAC＝2∠F＝70°.
25、已知:如图,PQ∥MN,△ABC的顶点A与B分别在MN与PQ上,∠C=45°,设∠CBQ=∠α,∠CAN=∠β.
(1)如图①,当点C落在PQ的上方时,AC与PQ交于点D,求证:∠β=∠α+45°;
(2)如图②,当点C落在MN的下方时,BC与MN交于点F,请判断∠α与∠β的数量关系,并说明理由.
解:(1)证明:∵∠CDQ是△CBD的一个外角,∴∠CDQ=∠α+∠C.
∵PQ∥MN,∴∠CDQ=∠β,∴∠β=∠α+∠C.
∵∠C=45°,∴∠β=∠α+45°.
(2)∠α=∠β+45°.理由如下:∵∠CFN是△ACF的一个外角,∴∠CFN=∠β+∠C.
∵PQ∥MN,∴∠CFN=∠α,∴∠α=∠β+∠C.∵∠C=45°,∴∠α=∠β+45°.
26、如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．
【分析】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE；
（2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．
【解析】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，
∴∠AEF＝∠AFE；
（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，
∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，
∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．
27、 (1)如图ⓐ,△OAB,△OCD的顶点O重合,且∠A+∠B+∠C+∠D=180°,
则∠AOB+∠COD= °(直接写出结果).
(2)连接AD,BC,若AO,BO,CO,DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线.
①如图ⓑ,如果∠AOB=110°,那么∠COD的度数为 (直接写出结果);
②如图ⓒ,若∠AOD=∠BOC,则AB与CD平行吗?为什么?
解:(1)∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D=180°×2=360°,∠A+∠B+∠C+∠D=180°,
∴∠AOB+∠COD=360°-180°=180°.故答案为180.
(2)①∵AO,BO,CO,DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线,
∴∠OAB=∠DAB,∠OBA=∠CBA,∠OCD=∠BCD,∠ODC=∠ADC,
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=(∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC).
∵在四边形ABCD中,∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC=360°,
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=×360°=180°.
在△OAB中,∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB,
在△OCD中,∠OCD+∠ODC=180°-∠COD,
∴180°-∠AOB+180°-∠COD=180°,
∴∠AOB+∠COD=180°.
∵∠AOB=110°,∴∠COD=180°-110°=70°.
故答案为70°.
②AB∥CD.理由如下:
∵AO,BO,CO,DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线,
∴∠OAB=∠DAB,∠OBA=∠CBA,∠OCD=∠BCD,∠ODC=∠ADC,
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=(∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC).
∵在四边形ABCD中,∠DAB+∠CBA+∠BCD+∠ADC=360°,
∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC=×360°=180°.
在△OAB中,∠OAB+∠OBA=180°-∠AOB,
在△OCD中,∠OCD+∠ODC=180°-∠COD,
∴180°-∠AOB+180°-∠COD=180°,∴∠AOB+∠COD=180°,
∴∠AOD+∠BOC=360°-(∠AOB+∠COD)=360°-180°=180°.
∵∠AOD=∠BOC,∴∠AOD=∠BOC=90°.
在△AOD中,∠DAO+∠ADO=180°-∠AOD=180°-90°=90°.
∵∠DAO=∠DAB,∠ADO=∠ADC, ∴∠DAB+∠ADC=90°,
∴∠DAB+∠ADC=180°,∴AB∥CD.
28、直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，∠BAO＝70°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB的度数．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是
∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数．
【分析】（1）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义计算即可．
（2）延长AD、BC交于点F，先求得∠PAB+∠MBA＝240°，再根据AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，求得∠BAD+∠ABC＝120°，进而得出∠F＝60°，再根据三角形内角和定理得到∠FDC+∠FCD＝1120°，即∠CDA+∠DCB＝240°，最后根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，得到∠CDE+∠DCE＝120°，进而在△CDE中，根据三角形内角和定理求得∠E＝60°．
（3）由（2）可知，∠EDC+∠ECD＝120°，因为△ECD中有一个角是另一个角的2倍，推出∠ECD＝2∠EDC或∠EDC＝2∠ECD，由此即可解决问题．
【解析】（1）如图1中，∵BE平分∠ABO，AE平分∠BAO，
∴∠EBA+∠EAB（∠ABO+∠BAO）=（180°﹣∠AOB）＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠EBA+∠EAB）＝120°．
（2）∠CED的大小不变．
如图2，延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ相交于O，∴∠AOB＝60°，∴∠OAB+∠OBA＝120°，
∴∠PAB+∠MBA＝240°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）＝120°，∴∠F＝60°，
∴∠FDC+∠FCD＝120°，∴∠CDA+∠DCB＝240°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝120°，
∴△CDE中，∠E＝180°﹣120°＝60°．
（3）由（2）可知，∠EDC+∠ECD＝120°，
∵△ECD中有一个角是另一个角的2倍，
∴∠ECD＝2∠EDC或∠EDC＝2∠ECD，
∴∠DCE＝40°或80°．
29、阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，
∠2＝135°，求∠A的度数．
【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；
（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．
【解答】解；（1）如图1，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣60°）＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD ∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A ∴∠OCD=（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC=∠ABC+∠A-∠ABC=∠A＝30°
如图3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∴∠OBC=∠EBC，∠OCB=∠BCD
∴∠OBC+∠OCB=（∠EBC+∠BCD）=（∠A+∠ACB+∠BCD）（∠A+180°）
=（60°+180°）＝120°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2
∴∠O2BC=∠ABC，∠O2CB=∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C
∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣60°）＝80°
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°∴∠BO2O1=∠BO2C＝50°
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°-（∠ABC+∠ACB）＝180°-（180°﹣∠A）
＝90°+∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，∴∠A＝70°．
相关试卷
初中数学苏科版七年级下册12.2 证明同步练习题： 这是一份初中数学苏科版七年级下册<a href="/sx/tb_c88690_t7/?tag_id=28" target="_blank">12.2 证明同步练习题</a>，共24页。
数学七年级下册12.2 证明同步达标检测题： 这是一份数学七年级下册12.2 证明同步达标检测题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
苏科版七年级下册12.2 证明课后练习题： 这是一份苏科版七年级下册12.2 证明课后练习题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
