2021年暑假八年级数学科讲义 第8讲 直角三角形全等的条件

       2019年暑假八年级数学科讲义

第八讲 直角三角形全等的条件

姓名：           

[问题] 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．

（1）你能帮他想个办法吗？

（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长，此时能判定两个三角形全等吗？

[操作]

画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;

1．   画∠MC′N=90°。

2．   在射线C′M上取B′C′=BC。

3．   以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。连接A′B′。

        斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边直角边”或“HL”）．

【例1】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．

【例2】如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF.  求证：AB=AC

*【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求证：CF=EB．

【例4】如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，求CH的长。

【例5】已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE

【A】基础满分训练

1、下列条件不能判断两个直角三角形全等的是（　　）

2、如图，AD⊥BD于D，若根据“HL”判定△ABD≌△ACD，还需要________条件，若所加条件为∠B＝∠C，则可用________判定．

3、如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则△CED≌_____，AC＝___，∠B＝____．

4、如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E、F，若BE＝CF，则图中全等三角形共有_____对

5、如图，△ABC中，AB＝AC，BE，CF是两腰上的高，则△ABE≌△ACF的理由是________，则BE＝CF，这样可证Rt△BCE≌Rt△CBF，理由是________．

   （第2题）      （第3题）          （第4题）       （第5题）      （第6题）

6、如图所示，已知AE＝CE，∠B＝∠D＝∠AEC＝90°，AB＝8 cm，CD＝3 cm，则BD＝______

7、如图，点E、F在AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，BF＝AE，CF＝DE．求证：CF∥ED

8、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD的长．

【B】能力提升训练

1、如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC＝BD，那么下列结论：①Rt△ABD≌Rt△BAC，②AD＝BC，③∠ABC＝∠BAD，④∠DAC＝∠CBD．其中正确的是（   ）

    A．①②③④     B． ①②③     C． ①②    D． ②③

2、如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC交AB于E，则有（　　）

    A．DE＝DB      B．DE＝AE     C．AE＝BE     D．AE＝BD                         

3、如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长．

4、如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．
求证：BD=EC+ED．

5、如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°．

【C】创新思维训练

1、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在点P（4，4）处，两直角边与坐标轴交于点A和点B。

  ⑴求OA+OB的值；

   ⑵将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，

   求OA-OB的值；