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2021年暑假八年级数学科讲义 第8讲 直角三角形全等的条件
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2019年暑假八年级数学科讲义第八讲 直角三角形全等的条件姓名： [问题] 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（1）你能帮他想个办法吗？（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长，此时能判定两个三角形全等吗？[操作]画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;1． 画∠MC′N=90°。2． 在射线C′M上取B′C′=BC。3． 以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。连接A′B′。 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边直角边”或“HL”）．【例1】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD． 【例2】如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF. 求证：AB=AC *【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求证：CF=EB． 【例4】如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，求CH的长。 【例5】已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE 【A】基础满分训练 1、下列条件不能判断两个直角三角形全等的是（ ）A．两条直角边分别对应相等B．斜边和一个锐角分别对应相等C．两个锐角对应相等D．斜边和一直角边分别对应相等2、如图，AD⊥BD于D，若根据“HL”判定△ABD≌△ACD，还需要________条件，若所加条件为∠B＝∠C，则可用________判定．3、如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则△CED≌_____，AC＝___，∠B＝____．4、如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E、F，若BE＝CF，则图中全等三角形共有_____对5、如图，△ABC中，AB＝AC，BE，CF是两腰上的高，则△ABE≌△ACF的理由是________，则BE＝CF，这样可证Rt△BCE≌Rt△CBF，理由是________． （第2题） （第3题） （第4题） （第5题） （第6题）6、如图所示，已知AE＝CE，∠B＝∠D＝∠AEC＝90°，AB＝8 cm，CD＝3 cm，则BD＝______7、如图，点E、F在AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，BF＝AE，CF＝DE．求证：CF∥ED 8、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD的长． 【B】能力提升训练1、如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC＝BD，那么下列结论：①Rt△ABD≌Rt△BAC，②AD＝BC，③∠ABC＝∠BAD，④∠DAC＝∠CBD．其中正确的是（ ） A．①②③④ B． ①②③ C． ①② D． ②③2、如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC交AB于E，则有（ ） A．DE＝DB B．DE＝AE C．AE＝BE D．AE＝BD 3、如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长． 4、如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．
求证：BD=EC+ED． 5、如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°． 【C】创新思维训练 1、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在点P（4，4）处，两直角边与坐标轴交于点A和点B。 ⑴求OA+OB的值； ⑵将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B， 求OA-OB的值；
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