2021年暑假八年级数学科讲义 第12讲 轴对称

       2019年暑假八年级数学科讲义

第十二讲 轴对称

姓名：           

知识点1、轴对称的概念

【观察探案】观察下面的图片，它们都有些什么共同特征?你还可以举出一些例子吗？

        概念：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称

【试一试】

下列各图，你能找出它们的对称轴吗？

像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

[辨析] 轴对称与轴对称图形是同一概念吗？成轴对称的两个图形具有怎么的关系？

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【探究】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？

  图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直．

   AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？

知识点2、垂直平分线

概念：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

知识点3、（重、难点）垂直平分线的性质

[探究1]

如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？

    1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…

    2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．

探究结果：

        垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…

【例1】已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB． 

证明：

【思考】你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．

        逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

[尺规作图] 用尺规作线段的垂直平分线

已知:线段AB,如图.  求作:线段AB的垂直平分线.

作法: 

1.分别以点A和B为圆心,以大于长为半径作弧,两弧交于点C和D.

2.作直线CD.  则直线CD就是线段AB的垂直平分线.

[思考] 刚才的作图中，体现了哪些相等的条件，你能说明为什么这样做出来的就是垂直平分线吗？

【例1】如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=10，则△ADE周长是多少？
（2）若∠BAC=128°，则∠DAE的度数是多少？

【例2】如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：BF=AC+AF．

【例4】（1）如图1，AC、AB是两条笔直的交叉公路，M、N是两个实习点的同学参加劳动，现欲建一个茶水供应站，使得此茶水供应站到公路两边的距离相等，且离M、N两个实习点的距离也相等，试问：此茶水供应站应建在何处？（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）
（2）如图2，已知直线河岸MN同侧有两个村庄A和B，现要在河边修建一个取水点P．为了节省成本，使取水点到A、B两个村庄铺设的水管总长度最短，请你确定取水点P的位置．（要求：不用写做法，但要保留作图痕迹）

【A】基础满分训练

1、如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是（　　）

    A．      B．      C．      D．

2、如图，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A＇处，且点A＇在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为________ cm．

3、如图，△ABC与△A＇B＇C＇关于l对称，且∠A＝78°，∠C＇＝48°，则∠B的度数为    

4、如图，CD是线段AB的垂直平分线，P为CD上的一点，已知PA＝5，则PB的长度为（　　）

      A． 6      B． 5      C． 4       D． 3

5、如图，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（　　）

 ①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°．

      A． 2个      B． 3个      C． 4个     D． 5个

6、如图，已知△ABC中，∠A＝50°，∠B=60°，AC的垂直平分线交AB于Q，垂足为P，则∠QCB＝________，∠QCA＝_______

7、如图，已知，在△ABC中，AB＜AC，B、C关于直线ED对称，E、D分别是AC、BC上的点，若AC＝8 cm，△ABE的周长为14 cm，则AB＝_______．

【B】能力提升训练

1、图所示的四个图案中的轴对称图形，只有一条对称轴的是（　　）

 A．   B．   C．   D．

2、如图镜子中的号码的实际号码是________．

3、如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF所叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．

4、如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　）

       A.  AB垂直平分CD             B． CD垂直平分AB  

       C． AB与CD互相垂直平分       D． CD平分∠ACB

5、如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　）

         A．13         B． 14       C． 15       D． 16

6、如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝5cm，则△PMN的周长是（　　）

        A． 3 cm       B． 4 cm        C． 5 cm       D． 6 cm

【C】创新思维训练

1、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AFDC的周长之差为12，则线段DE的长为________．

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE是BC的中垂线，E为垂足，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，求证：BM＝CN

3、已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．