2021年暑假八年级数学科讲义 第10讲 角平分线的性质

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[操作]
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
[探索]
按以下步骤折纸
将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
[证明]
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
求证：PD=PE
证明：


[几何语言描述]
在的平分线上
于，于
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【例1】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，这个集贸市场应建于何处？
【例2】如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
【例3】如图，是的外角的平分线上一点，于，于，且交的延长线于。
求证：。
【例4】已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD=CD，求证：∠B=∠C．
【例5】如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：AB=AC+CD．
【例6】如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论
【A】基础满分训练
如图所示，∠B＝∠C＝90°，根据角平分线的性质填空：
（1）若∠1＝∠2，则________＝________；
（2）若∠3＝∠4，则________＝________．
如图所示，下列推理中正确的个数是（ ）
①因为OC平分∠AOB，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，所以PD=PE；
②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE；
③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD=PE．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．下列结论中错误的是 （ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC
第3题
第2题
第5题
第4题

如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝5 cm，BD＝3 cm，则点D到AB的距离为（ ）
A．5 cm B．3 cm C．2 cm D．不能确定
5、如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于________
第6题
6、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，点F在AC上，BD＝DF．求证：CF＝EB．

第7题
7、如图，四边形ABCD中，AB=AD,CD=CD，点P是对角线AC上一点，PE⊥BC于E,PF⊥CD于F，求证：PE=PF
【B】能力提升训练
第1题
如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④BD平分∠ADC中，正确的结论是（ ）
A． ①② B． ①②③ C． ①②④ D． 只有①
2、如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF．
3、已知，（如图）在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BF上，PM⊥AD于M，
PN⊥CD于N，求证：PM=PN
4、如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，三角形ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE的长。