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人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试单元测试一课一练
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这是一份人教版八年级下册第十八章 平行四边形综合与测试单元测试一课一练，共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第18章 平行四边形
一、选择题（15×3＝45分）
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，图中全等三角形有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
4．四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，根据下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AD＝BC，AB∥CD
5．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E．若AB＝16cm，AD＝25cm，则EC＝（ ）
A．9cm B．3cm C．4cm D．2cm
6．对角线相等且互相平分的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
7．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
8．顺次连接一个矩形的四边中点，所的四边形是（ ）
A．菱形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
9．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．如图，正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．16 D．不能确定
11．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
12．如图，AC、BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．15
14．若菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的面积为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．40
15．如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD＝∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A．AD＝CF B．BF＝CF C．AF＝CD D．DE＝EF
二、解答题（6×4＝24分）
16．（6分）如图，在▱ABCD中，DB＝CD，∠C＝70°，AE⊥BD于点E．试求∠DAE的度数．
17．（6分）如图：在▱ABCD中，E、F分别为对角线BD上的点，且BE＝DF，判断四边形AECF的形状，并说明理由．
18．（6分）四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于H，求DH的长．
19．（6分）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是 °．
20．（7分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，求线段FC的长．
21．（7分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
22．（9分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．
23．（10分）在矩形ABCD中，AD＝16cm，AB＝6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm的速度向D点移动，一直达到D点为止，点Q以每秒2cm的速度向B点移动．当其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动．
（1）P、Q两点出发2秒时，求线段PQ的长度；
（2）P、Q两点出发几秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？
24．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，
故选：D．
2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．
【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
则四边形AFDE是平行四边形，
∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF
∴BF＝FD，DE＝EC，
所以：▱AFDE的周长等于AB+AC＝10．
故选：B．
3．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，图中全等三角形有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【分析】先依据SAS可得到△ABO≌△CDO、△ADO≌△CBO，然后依据全等三角形的性质可得到AD＝BC、DC＝AB，然后，再依据SSS可证明△ABD≌△CDB；△ACD≌△CAB看判断．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴△AOB≌△COD（SAS），△AOD≌△COB（SAS），△ABD≌△DCB（SAS），△ADC≌△CBA（SAS）．
故选：B．
4．四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，根据下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AD＝BC，AB∥CD
【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴A选项正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴B选项正确；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴C选项正确；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴D选项错误；
故选：D．
5．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E．若AB＝16cm，AD＝25cm，则EC＝（ ）
A．9cm B．3cm C．4cm D．2cm
【分析】根据角平分线定义得到∠BAE＝∠DAE；再根据AD∥BC得到∠DEA＝∠BEA，从而∠BAE＝∠BEA，所以BE＝AB，可求BE，再利用平行四边形对边相等求EC．
【解答】解：∵AE平分∠A，
∴∠BAE＝∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝25cm，
∴∠BEA＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB＝16cm，
∴EC＝BC﹣BE＝25﹣16＝9（cm）．
故选：A．
6．对角线相等且互相平分的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【分析】根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）进行解答．
【解答】解：∵该四边形的对角线互相平分，
∴该四边形是平行四边形；
又∵该平行四边形的对角线相等，
∴该平行四边形是矩形；
故选：B．
7．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据矩形的性质，求出∠EAF＝15°，从而得出∠AEF的度数即可．
【解答】解：∵∠EAF是∠DAE折叠而成，
∴∠EAF＝∠DAE，∠ADC＝∠AFE＝90°，∠EAF＝＝＝15°，
在△AEF中∠AFE＝90°，∠EAF＝15°，
∠AEF＝180°﹣∠AFE﹣∠EAF＝180°﹣90°﹣15°＝75°．
故选：C．
8．顺次连接一个矩形的四边中点，所的四边形是（ ）
A．菱形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据矩形的性质得到AC＝BD，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理解答即可．
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，GH是△BCD的中位线，EH是△ACD的中位线，GF是△ABC的中位线，
∴EF＝BD，GH＝BD，EH＝AC，GF＝AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EF＝GH＝EH＝GF，
∴四边形EFGH是菱形，
∴顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是菱形；
故选：A．
9．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】根据中位线定理求边长，再求ABCD的周长．
【解答】解：由题意可知，EF是△ABC的中位线，
有EF＝BC．
∴BC＝2EF＝2×2＝4，
那么ABCD的周长是4×4＝16．
故选：D．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．16 D．不能确定
【分析】根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解．
【解答】解：S阴影＝•S正方形ABCD＝×4×4＝8cm．
故选：B．
11．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【解答】解：由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形，故选：D．
12．如图，AC、BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个．
【解答】解：①在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SAS）；
②∵在△ABC和△DBC中
，
∴△ABC≌△DBC（SAS）；
③∵在△ABC和△ABD中
，
∴△ABC≌△ABD（SAS）；
④∵DE∥AC，
∴∠ACB＝∠DEC，
∵在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE（AAS）．
故选：D．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．15
【分析】先求出∠B等于60°得到△ABC是等边三角形，求出菱形的边长，周长即可得到．
【解答】解：在菱形ABCD中，
∵∠BAD＝120°，
∴∠B＝60°，
∴AB＝AC＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×4＝16．
故选：C．
14．若菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的面积为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．40
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：菱形的面积＝×6×8＝24．
故选：B．
15．如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD＝∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A．AD＝CF B．BF＝CF C．AF＝CD D．DE＝EF
【分析】可证△AEF≌△DEC（AAS或ASA），由∠FCD＝∠D得△DEC、△AEF都是等腰三角形．
故易判断C、D都成立；
∠B＝∠D＝∠F，则CF＝BC＝AD．
没有条件证明BF＝CF．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠B＝∠D，AB∥CD．
∵BF∥CD，∴∠F＝∠FCD，∠FAE＝∠D．
∵AE＝ED，
∴△AEF≌△DEC．
∴AF＝CD，EF＝CE．
∵∠FCD＝∠D，∴CE＝DE．
∴DE＝EF．
故C、D都成立；
∵∠B＝∠D＝∠F，则CF＝BC＝AD．故A成立．
没有条件证明BF＝CF．
故选：B．
二、解答题
16．（6分）如图，在▱ABCD中，DB＝CD，∠C＝70°，AE⊥BD于点E．试求∠DAE的度数．
【分析】要求∠DAE，就要先求出∠ADB，要求出∠ADB，就要先求出∠DBC．利用DB＝DC，∠C＝70°即可求出．
【解答】解：∵DB＝DC，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
由AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC＝70°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
那么∠DAE＝90°﹣∠ADE＝20°
故∠DAE的度数为20°．
17．（6分）如图：在▱ABCD中，E、F分别为对角线BD上的点，且BE＝DF，判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【分析】在平行四边形ABCD中，AC与BD互相平分，OA＝OC，OB＝OD，又BE＝DF，得出OE＝OF，得出AC与EF互相平分，证出四边形AECF为平行四边形．
【解答】证明：连接AC，与BD相交于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴AC与EF互相平分，
∴四边形AECF为平行四边形；
18．（6分）四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于H，求DH的长．
【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分得：OA＝AC＝4cm，OB＝BD＝3cm，根据勾股定理求得AB＝5cm，由菱形面积公式的两种求法列式可以求得高DH的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝4cm，OB＝BD＝3cm，
∴Rt△AOB中，AB＝＝＝5，
∵DH⊥AB，
∵菱形ABCD的面积S＝AC•BD＝AB•DH，
×6×8＝5DH，
∴DH＝．
19．（6分）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是 22.5 °．
【分析】由四边形ABCD是正方形，即可求得∠BAC＝∠ACB＝45°，又由AE＝AC，根据等边对等角与三角形内角和等于180°，即可求得∠ACE的度数，又由∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠E＝＝67.5°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．
故答案为：22.5°．
20．（7分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，求线段FC的长．
【分析】由折叠的性质可得BF＝DF，由勾股定理可求解．
【解答】解：由折叠可知：BF＝DF，
∵DF2＝FC2+DC2，
∴（5﹣FC）2＝FC2+9，
∴FC＝（cm），
答：线段FC的长为cm．
21．（7分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
【分析】（1）在证明△BEC≌△DEC时，根据题意知，运用SAS公理就行；
（2）根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC＝∠DEC＝∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD＝∠BEC+∠CAD．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°．
∴在△BEC与△DEC中，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED．
∵∠BED＝120°，∴∠BEC＝60°＝∠AEF．
∴∠EFD＝60°+45°＝105°．
22．（9分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由题意可证四边形ODEC是平行四边形，通过证明四边形ODEC是菱形，可得OE⊥DC；
（2）由题意可得∠DAO＝30°，AC＝4，根据直角三角形的性质可得CD＝2，AD＝2，根据矩形的面积公式可求矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OC＝OA＝OB，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥DC，
（2）∵DE＝2，且四边形ODEC是菱形
∴OD＝OC＝DE＝2＝OA，
∴AC＝4
∵∠AOD＝120，AO＝DO
∴∠DAO＝30°，且∠ADC＝90°
∴CD＝2，AD＝CD＝2
∴S矩形ABCD＝2×2＝4
23．（10分）在矩形ABCD中，AD＝16cm，AB＝6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm的速度向D点移动，一直达到D点为止，点Q以每秒2cm的速度向B点移动．当其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动．
（1）P、Q两点出发2秒时，求线段PQ的长度；
（2）P、Q两点出发几秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？
【分析】（1）根据勾股定理解答；
（2）首先设P、Q两点出发后x秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2，根据题意可得PB＝AB﹣AP＝（16﹣3x）cm，CQ＝2xcm，再根据梯形的面积公式可得方程[（16﹣3x）+2x]×6×＝36，再解方程即可．
【解答】解：（1）如图，过点P作PM⊥BC于M，
根据题意知，PM＝AB＝6cm，AP＝BM＝6cm，CQ＝4cm，
所以MQ＝16﹣6﹣4＝6（cm）．
在直角△PMQ中，由勾股定理知：PQ＝＝＝6（cm），
答：线段PQ的长度是6cm；
（2）设P、Q两点出发后x秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2，由题意得：
[（16﹣3x）+2x]×6×＝36，
解得：x＝4．
答：P、Q两点出发后4秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2．
24．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．
【分析】（1）易证∠DEC＝∠DFA，即可得CE∥AF，根据CE＝AF可得四边形ACEF为平行四边形；
（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC＝CE，又∵CE＝AB，∴使得AB＝2AC即可，根据AB、AC即可求得∠B的值．
【解答】解：（1）∵DE为BC的垂直平分线，
∴∠EDB＝90°，BD＝DC，
又∵∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴E为AB的中点，
∴在Rt△ABC中，CE＝AE＝BE，
∴∠AEF＝∠AFE，且∠BED＝∠AEF，
∠DEC＝∠DFA，
∴AF∥CE，
又∵AF＝CE，
∴四边形ACEF为平行四边形；
（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC＝CE即可，
∵DE∥AC，∴∠BED＝∠BAC，∠DEC＝∠ECA，
又∵∠BED＝∠DEC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝EC，又EB＝EC，
∴AE＝EC＝EB，
∵CE＝AB，
∴AC＝AB即可，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴当∠B＝30°时，AB＝2AC，
故∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形．
第18章 平行四边形
一、选择题（15×3＝45分）
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，图中全等三角形有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
4．四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，根据下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AD＝BC，AB∥CD
5．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E．若AB＝16cm，AD＝25cm，则EC＝（ ）
A．9cm B．3cm C．4cm D．2cm
6．对角线相等且互相平分的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
7．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
8．顺次连接一个矩形的四边中点，所的四边形是（ ）
A．菱形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
9．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．如图，正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．16 D．不能确定
11．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
12．如图，AC、BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．15
14．若菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的面积为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．40
15．如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD＝∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A．AD＝CF B．BF＝CF C．AF＝CD D．DE＝EF
二、解答题（6×4＝24分）
16．（6分）如图，在▱ABCD中，DB＝CD，∠C＝70°，AE⊥BD于点E．试求∠DAE的度数．
17．（6分）如图：在▱ABCD中，E、F分别为对角线BD上的点，且BE＝DF，判断四边形AECF的形状，并说明理由．
18．（6分）四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于H，求DH的长．
19．（6分）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是 °．
20．（7分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，求线段FC的长．
21．（7分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
22．（9分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．
23．（10分）在矩形ABCD中，AD＝16cm，AB＝6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm的速度向D点移动，一直达到D点为止，点Q以每秒2cm的速度向B点移动．当其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动．
（1）P、Q两点出发2秒时，求线段PQ的长度；
（2）P、Q两点出发几秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？
24．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．
【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，
故选：D．
2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．
【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
则四边形AFDE是平行四边形，
∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDF
∴BF＝FD，DE＝EC，
所以：▱AFDE的周长等于AB+AC＝10．
故选：B．
3．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，图中全等三角形有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【分析】先依据SAS可得到△ABO≌△CDO、△ADO≌△CBO，然后依据全等三角形的性质可得到AD＝BC、DC＝AB，然后，再依据SSS可证明△ABD≌△CDB；△ACD≌△CAB看判断．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴△AOB≌△COD（SAS），△AOD≌△COB（SAS），△ABD≌△DCB（SAS），△ADC≌△CBA（SAS）．
故选：B．
4．四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，根据下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AD＝BC，AB∥CD
【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴A选项正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴B选项正确；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴C选项正确；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴D选项错误；
故选：D．
5．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E．若AB＝16cm，AD＝25cm，则EC＝（ ）
A．9cm B．3cm C．4cm D．2cm
【分析】根据角平分线定义得到∠BAE＝∠DAE；再根据AD∥BC得到∠DEA＝∠BEA，从而∠BAE＝∠BEA，所以BE＝AB，可求BE，再利用平行四边形对边相等求EC．
【解答】解：∵AE平分∠A，
∴∠BAE＝∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝25cm，
∴∠BEA＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB＝16cm，
∴EC＝BC﹣BE＝25﹣16＝9（cm）．
故选：A．
6．对角线相等且互相平分的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【分析】根据平行四边形的判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）进行解答．
【解答】解：∵该四边形的对角线互相平分，
∴该四边形是平行四边形；
又∵该平行四边形的对角线相等，
∴该平行四边形是矩形；
故选：B．
7．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据矩形的性质，求出∠EAF＝15°，从而得出∠AEF的度数即可．
【解答】解：∵∠EAF是∠DAE折叠而成，
∴∠EAF＝∠DAE，∠ADC＝∠AFE＝90°，∠EAF＝＝＝15°，
在△AEF中∠AFE＝90°，∠EAF＝15°，
∠AEF＝180°﹣∠AFE﹣∠EAF＝180°﹣90°﹣15°＝75°．
故选：C．
8．顺次连接一个矩形的四边中点，所的四边形是（ ）
A．菱形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据矩形的性质得到AC＝BD，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理解答即可．
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，GH是△BCD的中位线，EH是△ACD的中位线，GF是△ABC的中位线，
∴EF＝BD，GH＝BD，EH＝AC，GF＝AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EF＝GH＝EH＝GF，
∴四边形EFGH是菱形，
∴顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是菱形；
故选：A．
9．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】根据中位线定理求边长，再求ABCD的周长．
【解答】解：由题意可知，EF是△ABC的中位线，
有EF＝BC．
∴BC＝2EF＝2×2＝4，
那么ABCD的周长是4×4＝16．
故选：D．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．16 D．不能确定
【分析】根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解．
【解答】解：S阴影＝•S正方形ABCD＝×4×4＝8cm．
故选：B．
11．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．
【解答】解：由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形，故选：D．
12．如图，AC、BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题中条件，结合图形，可得出与△ABC全等的三角形为△ADC，△ABD，△DBC，△DCE共4个．
【解答】解：①在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SAS）；
②∵在△ABC和△DBC中
，
∴△ABC≌△DBC（SAS）；
③∵在△ABC和△ABD中
，
∴△ABC≌△ABD（SAS）；
④∵DE∥AC，
∴∠ACB＝∠DEC，
∵在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE（AAS）．
故选：D．
13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．15
【分析】先求出∠B等于60°得到△ABC是等边三角形，求出菱形的边长，周长即可得到．
【解答】解：在菱形ABCD中，
∵∠BAD＝120°，
∴∠B＝60°，
∴AB＝AC＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×4＝16．
故选：C．
14．若菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的面积为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．40
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：菱形的面积＝×6×8＝24．
故选：B．
15．如图，E是▱ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD＝∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A．AD＝CF B．BF＝CF C．AF＝CD D．DE＝EF
【分析】可证△AEF≌△DEC（AAS或ASA），由∠FCD＝∠D得△DEC、△AEF都是等腰三角形．
故易判断C、D都成立；
∠B＝∠D＝∠F，则CF＝BC＝AD．
没有条件证明BF＝CF．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠B＝∠D，AB∥CD．
∵BF∥CD，∴∠F＝∠FCD，∠FAE＝∠D．
∵AE＝ED，
∴△AEF≌△DEC．
∴AF＝CD，EF＝CE．
∵∠FCD＝∠D，∴CE＝DE．
∴DE＝EF．
故C、D都成立；
∵∠B＝∠D＝∠F，则CF＝BC＝AD．故A成立．
没有条件证明BF＝CF．
故选：B．
二、解答题
16．（6分）如图，在▱ABCD中，DB＝CD，∠C＝70°，AE⊥BD于点E．试求∠DAE的度数．
【分析】要求∠DAE，就要先求出∠ADB，要求出∠ADB，就要先求出∠DBC．利用DB＝DC，∠C＝70°即可求出．
【解答】解：∵DB＝DC，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
由AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC＝70°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
那么∠DAE＝90°﹣∠ADE＝20°
故∠DAE的度数为20°．
17．（6分）如图：在▱ABCD中，E、F分别为对角线BD上的点，且BE＝DF，判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【分析】在平行四边形ABCD中，AC与BD互相平分，OA＝OC，OB＝OD，又BE＝DF，得出OE＝OF，得出AC与EF互相平分，证出四边形AECF为平行四边形．
【解答】证明：连接AC，与BD相交于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴AC与EF互相平分，
∴四边形AECF为平行四边形；
18．（6分）四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于H，求DH的长．
【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分得：OA＝AC＝4cm，OB＝BD＝3cm，根据勾股定理求得AB＝5cm，由菱形面积公式的两种求法列式可以求得高DH的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝4cm，OB＝BD＝3cm，
∴Rt△AOB中，AB＝＝＝5，
∵DH⊥AB，
∵菱形ABCD的面积S＝AC•BD＝AB•DH，
×6×8＝5DH，
∴DH＝．
19．（6分）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是 22.5 °．
【分析】由四边形ABCD是正方形，即可求得∠BAC＝∠ACB＝45°，又由AE＝AC，根据等边对等角与三角形内角和等于180°，即可求得∠ACE的度数，又由∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠E＝＝67.5°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．
故答案为：22.5°．
20．（7分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，求线段FC的长．
【分析】由折叠的性质可得BF＝DF，由勾股定理可求解．
【解答】解：由折叠可知：BF＝DF，
∵DF2＝FC2+DC2，
∴（5﹣FC）2＝FC2+9，
∴FC＝（cm），
答：线段FC的长为cm．
21．（7分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
【分析】（1）在证明△BEC≌△DEC时，根据题意知，运用SAS公理就行；
（2）根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC＝∠DEC＝∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD＝∠BEC+∠CAD．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°．
∴在△BEC与△DEC中，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED．
∵∠BED＝120°，∴∠BEC＝60°＝∠AEF．
∴∠EFD＝60°+45°＝105°．
22．（9分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：OE⊥DC．
（2）若∠AOD＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由题意可证四边形ODEC是平行四边形，通过证明四边形ODEC是菱形，可得OE⊥DC；
（2）由题意可得∠DAO＝30°，AC＝4，根据直角三角形的性质可得CD＝2，AD＝2，根据矩形的面积公式可求矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OC＝OA＝OB，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥DC，
（2）∵DE＝2，且四边形ODEC是菱形
∴OD＝OC＝DE＝2＝OA，
∴AC＝4
∵∠AOD＝120，AO＝DO
∴∠DAO＝30°，且∠ADC＝90°
∴CD＝2，AD＝CD＝2
∴S矩形ABCD＝2×2＝4
23．（10分）在矩形ABCD中，AD＝16cm，AB＝6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm的速度向D点移动，一直达到D点为止，点Q以每秒2cm的速度向B点移动．当其中一点停止运动时，另一点也随之停止运动．
（1）P、Q两点出发2秒时，求线段PQ的长度；
（2）P、Q两点出发几秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？
【分析】（1）根据勾股定理解答；
（2）首先设P、Q两点出发后x秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2，根据题意可得PB＝AB﹣AP＝（16﹣3x）cm，CQ＝2xcm，再根据梯形的面积公式可得方程[（16﹣3x）+2x]×6×＝36，再解方程即可．
【解答】解：（1）如图，过点P作PM⊥BC于M，
根据题意知，PM＝AB＝6cm，AP＝BM＝6cm，CQ＝4cm，
所以MQ＝16﹣6﹣4＝6（cm）．
在直角△PMQ中，由勾股定理知：PQ＝＝＝6（cm），
答：线段PQ的长度是6cm；
（2）设P、Q两点出发后x秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2，由题意得：
[（16﹣3x）+2x]×6×＝36，
解得：x＝4．
答：P、Q两点出发后4秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2．
24．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．
【分析】（1）易证∠DEC＝∠DFA，即可得CE∥AF，根据CE＝AF可得四边形ACEF为平行四边形；
（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC＝CE，又∵CE＝AB，∴使得AB＝2AC即可，根据AB、AC即可求得∠B的值．
【解答】解：（1）∵DE为BC的垂直平分线，
∴∠EDB＝90°，BD＝DC，
又∵∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴E为AB的中点，
∴在Rt△ABC中，CE＝AE＝BE，
∴∠AEF＝∠AFE，且∠BED＝∠AEF，
∠DEC＝∠DFA，
∴AF∥CE，
又∵AF＝CE，
∴四边形ACEF为平行四边形；
（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC＝CE即可，
∵DE∥AC，∴∠BED＝∠BAC，∠DEC＝∠ECA，
又∵∠BED＝∠DEC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝EC，又EB＝EC，
∴AE＝EC＝EB，
∵CE＝AB，
∴AC＝AB即可，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴当∠B＝30°时，AB＝2AC，
故∠B＝30°时，四边形ACEF为菱形．
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