高考数学三年真题专项汇编卷（2018-2020）考点九 ：平面解析几何（有答案）

高考数学三年真题专项汇编卷（2018-2020）

考点九 ：平面解析几何

一、选择题

1.已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

2.点到直线距离的最大值为(   )

A．1 B． C． D．2

3.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则(   )

A．2 B．3 C．4 D．8

4.设O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点.若的面积为8，则C的焦距的最小值为（   ）

A．4 B．8 C．16 D．32

5.已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于两点．若，，则C的方程为(   )

A． B． C． D．

6.已知，直线，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为(   )

A. B. C. D.

7.设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则 (   )

A.5           B.6           C.7           D.8

二、多项选择题

8.已知曲线.(   )

A.若，则是椭圆，其焦点在轴上

B.若，则是圆，其半径为

C.若，则是双曲线，其渐近线方程为

D.若，，则是两条直线

三、填空题

9.斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则_________.

10.已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴.若的斜率为3，则的离心率为______________.

四、解答题

11.已知椭圆的离心率为,且过点

(1)求的方程；

(2)点在上,且,为垂足,证明：存在定点,使得为定值.

12.设椭圆的右焦点为,过得直线与交于两点,点的坐标为.

(1).当与轴垂直时,求直线的方程;

(2).设为坐标原点,证明:

参考答案

1.答案：B

解析：将圆的方程化为标准方程，设圆心为，则，半径.设点为点，过点的直线为，因为，所以点在圆的内部，则直线与圆必相交，设交点分别为.易知当直线时，直线被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心到直线的距离为，则，所以，即弦的长度的最小值为2，故选B.

2.答案：B

解析：解法一 由点到直线的距离公式知点到直线的距离.当时，；当时，，要使最大，需且最小，当时，，故选B.

解法二 记点，直线恒过点，当垂直于直线时，点到直线的距离最大，且最大值为，故选B.

3.答案：D

解析：因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．

4.答案：B

解析：由题意，知双曲线的渐近线方程为.因为分别为直线与双曲线的两条渐近线的交点，所以不妨设，，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以的焦距的最小值为8，故选B.

5.答案：B

解析：如图，

由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．

所求椭圆方程为，故选B．

6.答案：D

解析：通解 由①，得，所以圆心.如图，连接，，易知四边形的面积为，欲使最小，只需四边形的面积最小，即只需的面积最小.因为，所以只需最小.又，所以只需直线上的动点到的距离最小，其最小值为，此时，易求出直线的方程为.由得所以.易知四点共圆，所以以为直径的圆的方程为，即②，由①②得，直线的方程为，故选D.

优解 因为，所以圆心.

连接，易知四边形的面积为，欲使最小，只需四边形的面积最小，即只需的面积最小.因为，所以只需最小.

又，所以只需最小，此时.因为，所以，所以，排除A，C.

易求出直线的方程为，由得所以.因为点到直线的距离为2，所以直线过点且与相切，所以.因为点在直线上，故排除B.故选D.

7.答案：D

解析：由直线过点且斜率为故可得直线为,联立直线与抛物线，解得或，故可设,则.又由抛物线焦点，故,,所以,故选D

8.答案：ACD

解析：对于选项A，，，方程可变形为，该方程表示焦点在轴上的椭圆，正确；对于选项B，，方程可变形为，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，，该方程表示双曲线，令，正确；对于选项D，，，方程变形为，该方程表示两条直线，正确.综上选ACD.

9.答案：

解析：由题意得直线方程为，联立方程，得得，，故.

10.答案：2

解析：设，因为为双曲线上的点，所以，所以.因为的斜率为3，所以，，所以，所以，所以，解得(舍去)或，所以的离心率.

11.答案：(1)由题设得,解得.

所以的方程为.

(2)设.

若直线与轴不垂直,设直线的方程为,代入得

.

于是.①

由知,故,可得.

将①代入上式可得.

整理得.

因为不在直线上,所以,故.

于是的方程为.

所以直线过点,若直线与轴垂直,可得,

由得.

又,可得.解得（舍去）,.

此时直线过点.

令为的中点,即.

若与不重合,则由题设知是的斜边,故.

若与重合,则.

综上,存在点,使得为定值.

解析：

12.答案：(1).依题意,右焦点,当与轴垂直时,则点的坐标为,

所以当时,直线方程为,即

所以当时,直线方程为,即
(2).①当直线与轴垂直时, 两点分别为和根据对称性可知, 所以

②当直线不与垂直时,设直线的方程为联立方程组

设,则则