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高考数学三年真题专项汇编卷(2018-2020)考点九 :平面解析几何(有答案)
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高考数学三年真题专项汇编卷(2018-2020)考点九 :平面解析几何
一、选择题1.已知圆,过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A.1 B.2 C.3 D.42.点到直线距离的最大值为( )A.1 B. C. D.23.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,则( )A.2 B.3 C.4 D.84.设O为坐标原点,直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点.若的面积为8,则C的焦距的最小值为( )A.4 B.8 C.16 D.325.已知椭圆C的焦点为,过的直线与C交于两点.若,,则C的方程为( )A. B. C. D.6.已知,直线,为上的动点,过点作⊙M的切线,切点为,当最小时,直线的方程为( )A. B. C. D. 7.设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则 ( )A.5 B.6 C.7 D.8二、多项选择题8.已知曲线.( )A.若,则是椭圆,其焦点在轴上B.若,则是圆,其半径为C.若,则是双曲线,其渐近线方程为D.若,,则是两条直线三、填空题9.斜率为的直线过抛物线的焦点,且与交于两点,则_________.10.已知为双曲线的右焦点,为的右顶点,为上的点,且垂直于轴.若的斜率为3,则的离心率为______________.四、解答题11.已知椭圆的离心率为,且过点(1)求的方程;(2)点在上,且,为垂足,证明:存在定点,使得为定值.12.设椭圆的右焦点为,过得直线与交于两点,点的坐标为.(1).当与轴垂直时,求直线的方程; (2).设为坐标原点,证明: 参考答案1.答案:B解析:将圆的方程化为标准方程,设圆心为,则,半径.设点为点,过点的直线为,因为,所以点在圆的内部,则直线与圆必相交,设交点分别为.易知当直线时,直线被该圆所截得的弦的长度最小,设此时圆心到直线的距离为,则,所以,即弦的长度的最小值为2,故选B.2.答案:B解析:解法一 由点到直线的距离公式知点到直线的距离.当时,;当时,,要使最大,需且最小,当时,,故选B.解法二 记点,直线恒过点,当垂直于直线时,点到直线的距离最大,且最大值为,故选B.3.答案:D解析:因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,所以,解得,故选D.4.答案:B解析:由题意,知双曲线的渐近线方程为.因为分别为直线与双曲线的两条渐近线的交点,所以不妨设,,所以,所以,当且仅当时,等号成立,所以,所以,所以的焦距的最小值为8,故选B.5.答案:B解析:如图,由已知可设,则,由椭圆的定义有.在中,由余弦定理推论得.在中,由余弦定理得,解得.所求椭圆方程为,故选B.6.答案:D解析:通解 由①,得,所以圆心.如图,连接,,易知四边形的面积为,欲使最小,只需四边形的面积最小,即只需的面积最小.因为,所以只需最小.又,所以只需直线上的动点到的距离最小,其最小值为,此时,易求出直线的方程为.由得所以.易知四点共圆,所以以为直径的圆的方程为,即②,由①②得,直线的方程为,故选D.优解 因为,所以圆心.连接,易知四边形的面积为,欲使最小,只需四边形的面积最小,即只需的面积最小.因为,所以只需最小.又,所以只需最小,此时.因为,所以,所以,排除A,C.易求出直线的方程为,由得所以.因为点到直线的距离为2,所以直线过点且与相切,所以.因为点在直线上,故排除B.故选D.7.答案:D解析:由直线过点且斜率为故可得直线为,联立直线与抛物线,解得或,故可设,则.又由抛物线焦点,故,,所以,故选D8.答案:ACD解析:对于选项A,,,方程可变形为,该方程表示焦点在轴上的椭圆,正确;对于选项B,,方程可变形为,该方程表示半径为的圆,错误;对于选项C,,该方程表示双曲线,令,正确;对于选项D,,,方程变形为,该方程表示两条直线,正确.综上选ACD.9.答案:解析:由题意得直线方程为,联立方程,得得,,故.10.答案:2解析:设,因为为双曲线上的点,所以,所以.因为的斜率为3,所以,,所以,所以,所以,解得(舍去)或,所以的离心率.11.答案:(1)由题设得,解得.所以的方程为.(2)设.若直线与轴不垂直,设直线的方程为,代入得.于是.①由知,故,可得.将①代入上式可得.整理得.因为不在直线上,所以,故.于是的方程为.所以直线过点,若直线与轴垂直,可得,由得.又,可得.解得(舍去),.此时直线过点.令为的中点,即.若与不重合,则由题设知是的斜边,故.若与重合,则.综上,存在点,使得为定值.解析:12.答案:(1).依题意,右焦点,当与轴垂直时,则点的坐标为,所以当时,直线方程为,即所以当时,直线方程为,即
(2).①当直线与轴垂直时, 两点分别为和根据对称性可知, 所以②当直线不与垂直时,设直线的方程为联立方程组设,则则
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