高考数学三年真题专项汇编卷（2018-2020）考点八 ：立体几何（有答案）

高考数学三年真题专项汇编卷（2018-2020）

考点八 ：立体几何

一、选择题

1.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(   )

A. B. C. D.

2.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(   )

A.  B.  C.  D.

3.设为两个平面，则的充要条件是（   ）

A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行

C．平行于同一条直线 D．垂直于同一平面

4.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则到平面的距离为(   )

A. B. C.1 D.

5.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a所成的角相等，则a截此正方体所得的截面面积的最大值为(   )

A．               B．               C．              D．

6.在长方体中, ,,则异面直线与所成角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

7.已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为,则球的表面积为(   )

A. B. C. D.

8.设是同一个半径为的球的球面上四点, 为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为(   )

A.  B.  C.  D.

二、填空题

9.已知，为平面外一点，，点到两边的距离均为，那么到平面的距离为___________．

10.已知直四棱柱的棱长均为2，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______.

三、解答题

11.如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，分别为,的中点，P为上一点，过和P的平面交于E，交于F.

（1）证明：，且平面平面；

（2）设O为的中心，若，平面，且，求四棱锥的体积

12.如图，四棱锥的底面为正方形，底面.设平面与平面的交线为.

（1）证明：平面；

（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.

参考答案

1.答案：C

解析：设正四棱锥的高为，底面正方形的边长为，斜高为，依题意得，即①，易知②，由①②得，所以.故选C.

2.答案：C

解析：由三视图可知该几何体为三棱锥，记为三棱锥，将其放入正方体中，如图，易知，，故其表面积为，故选C.

3.答案：B

解析：由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是的必要条件，故选B．

4.答案：C

解析：由等边三角形的面积为，得，得，则的外接圆半径.设球的半径为，则由球的表面积为，得，得，则球心到平面的距离，故选C.

5.答案：A

解析：如图所示平面与平面的所有棱缩成角都相等

故平面,构造平面,平面

设则,

故

当时

6.答案：C

解析：以D为坐标原点, 为轴建立空间直角坐标系,则

所以:

因为: ,所以异面直线与所成角的余弦值为,选C.

7.答案：A

解析：如图所示，设球的半径为，的半径为，因为的面积为，所以，解得，又，所以，解得，故，所以，所以球的表面积.故选A.

8.答案：B

解析：如图所示

,

点M为的重心,E为AC中心,当平面时,三棱锥体积最大(O是球心)此时,

∴

∴中,有

∴

∴

故选B

9.答案：

解析：作分别垂直于，平面，连，

知，，

平面，平面，

，．，

，

，为平分线，

，又，

．

10.答案：

解析：如图，连接，易知为正三角形，所以.分别取，，的中点，连接，则易得，，且.由题意知分别是，与球面的交点.在侧面内任取一点，使，连接，则，连接，易得，故可知以为圆心，为半径的圆弧为球面与侧面的交线.由知，所以的长为.

11.答案：解：（1）因为分别为的中点，所以.又由己知得，故.

因为是正三角形，所以.又，故平面.

所以平面平面.

（2）平面，平面，平面平面，

故.又，故四边形是平行四边形，所以

，.

因为平面，所以四棱锥的顶点B到底面的距离等于点M到底面的距离.

作，垂足为T，则由（1）知，平面，

故.

底面的面积为

.

所以四棱锥的体积为.

解析：

12.答案：（1）因为底面，所以.又底面为正方形，所以，因此平面，因为平面，所以平面，由已知得.因此平面.

（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则.

由（1）可设，则

设是平面的法向量，则，即.

可取

所以.

设与平面所成角为，则.

因为，当且仅当时等号成立，所以与平面所成角的正弦值的最大值为.