高考数学三年真题专项汇编卷（2018-2020）考点十四 ：坐标系与参数方程（有答案）

高考数学三年真题专项汇编卷（2018-2020）

考点十四 ：坐标系与参数方程

一、解答题

1.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)当时，是什么曲线？

(2)当时，求与的公共点的直角坐标.

2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1).求和的直角坐标方程；

(2).求上的点到距离的最小值．

3.[选修4-4：坐标系与参数方程]

如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.

1.分别写出，，的极坐标方程；

2.曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标.

4.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数且），C与坐标轴交于A，B两点.

(1)求；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.

5. [选修4-4：坐标系与参数方程]

在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为P.

(1)当时，求及l的极坐标方程；

(2)当在C上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.

6.[选修4—4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系中,曲线的方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为    

(1).求的直角坐标方程

(2). 若与有且仅有三个公共点,求的方程

7.已知曲线,的参数方程分别为

（θ为参数），（t为参数）.

（1）将，的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设，的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

8.[选修4-4:坐标系与参数方程]

在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数)

(1)求和的直角坐标方程

(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率

9.[选修4-4:坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中, 的参数方程为为参数)过点且倾斜角为的直线与交于两点.    

(1)求的取值范围
(2)求中点的轨迹的参数方程。

参考答案

1.答案：(1)曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2).

解析：(1)当时，消去参数得，故曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆.

(2)当时，消去参数得的直角坐标方程为,

的直角坐标方程为.

由解得

故与的公共点的直角坐标为.

2.答案：(1).因为，且，所以的直角坐标方程为.

的直角坐标方程为.

(2).由(1)可设的参数方程为（为参数，）.

上的点到的距离为.

当时，取得最小值7，故上的点到距离的最小值为.

解析：

3.答案：(1).由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，.

所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为.

(2).设，由题设及1知

若，则，解得；

若，则，解得或；

若，则，解得.

综上，的极坐标为或或或.

解析：

4.答案：解：（1）因为，由得，所以C与y轴的交点为；由得，所以C与x轴的交点为.

故.

（2）由（1）可知，直线的直角坐标方程为，将代入，得直线的极坐标方程.

解析：

5.答案：(1) 因为点在曲线上，

所以；

即，所以，

因为直线l过点且与垂直，

所以直线的直角坐标方程为，即；

因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为； 

(2) 设，则， ，

由题意，，所以，故，整理得，

因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，

所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.

解析：

6.答案：(1).

则,即

所以的直角坐标方程为
(2).由题(1)可知圆心坐标为,半径

又曲线方程,关于轴对称,且曲线过圆外定点

∴当曲线与圆有且仅有个交点时,设曲线在轴的右半部分与圆相切于点,

此时,

则,

,即直线的方程为

解析：

7.答案：解：（1）的普通方程为.

由的参数方程得，所以.

故的普通方程为.

（2）由得

所以P的直角坐标为.

设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得

，

解得.

因此，所求圆的极坐标方程为.

解析：

8.答案:(1)曲线的直角坐标方程为.

当时,的直角坐标方程为,

当时,的直角坐标方程为
(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程.

①因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,

设为,则.又由①得,

故,于是直线的斜率

解析:

9.答案：(1)
(2)的轨迹的参数方程是 (为参数, ).

解析：(1)解:设直线为

有题意得直线与圆相交时

∴又

∴

⊙O的直角坐标方程为.当时, 与⊙O交于两点.

当时,记,则的方程为.与⊙O交于两点当且仅当,解得或,即或.综上, 的取值范围是.
(2)的参数方程为 (为参数, )

设,,对应的参数分别为,,,则,且,满足.于是,.又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是 (为参数, ).