2021年河北省承德市中考数学一模试卷
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一、选择题(本大题共16个小题,1-10题,每题3分,11-16题,每题2分,共42分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)下列方程中,一元二次方程是( )
A.x2+ B.ax2+bx
C.(x﹣1)(x+2)=1 D.3x2﹣2xy﹣5y2=0
2.(3分)一元二次方程4x2﹣4x+1=0根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
3.(3分)已知甲、乙两地相距s(km),汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间t(h)与行驶速度v(km/h)的函数关系图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.(3分)下列各点中,在函数y=﹣图象上的是( )
A.(﹣2,﹣4) B.(2,3) C.(﹣1,6) D.(﹣,3)
5.(3分)若双曲线位于第二、四象限,则k的取值范围是( )
A.k<1 B.k≥1 C.k>1 D.k≠1
6.(3分)抛物线y=(x+5)2﹣1的顶点坐标是( )
A.(5,﹣1) B.(﹣5,1) C.(5,1) D.(﹣5,﹣1)
7.(3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=3x2先向右平移1个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式是( )
A.y=3(x+1)2+2 B.y=3(x+1)2﹣2
C.y=3(x﹣1)2+2 D.y=3(x﹣1)2﹣2
8.(3分)如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为6,P为弦AB上的动点,则线段OP长的取值范围是( )
A.3≤OP≤5 B.4<OP<5 C.4≤OP≤5 D.3<OP<5
9.(3分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠A=60°,则∠DCE的度数是( )
A.60° B.120° C.90° D.无法确定
10.(3分)如图,在⊙O中,点A、B、C在⊙O上,且∠ACB=110°,则∠α=( )
A.70° B.110° C.120° D.140°
11.(2分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=CD,A为中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
12.(2分)如图,⊙O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=﹣x2的图象,则阴影部分的面积是( )
A.π B.2π C.4π D.都不对
13.(2分)反比例函数y=(m≠0)的图象如图所示,以下结论:①常数m<﹣1;②在每个象限内,y随x的增大而增大;③若A(﹣1,h),B(2,k)在图象上,则h<k;④若P(x,y)在图象上,则P′(﹣x,﹣y)也在图象上,其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
14.(2分)如图,已知双曲线y=(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(﹣6,4),则△AOC的面积为( )
A.12 B.9 C.6 D.4
15.(2分)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,y<0时自变量x的取值范围是( )
A.﹣1<x<5 B.x>5 C.x<﹣1且x>5 D.x<﹣1或x>5
16.(2分)关于二次函数y=x2﹣6x+a+27,下列说法错误的是( )
A.若将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后过点(4,5),则a=﹣5
B.当x=12时,y有最小值a﹣9
C.x=2对应的函数值比最小值大7
D.当a<0时,图象与x轴有两个不同的交点
二、填空题(本大题共4个小题:17、18每小题3分,19、20每空2分,共14分把正确答案填在横线上)
17.(3分)已知x=1是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,则m+n的值是 .
18.(3分)抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,3),B(2,3),抛物线的对称轴为 .
19.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A(8,0),C(0,6),矩形OABC的对角线交于点P,点M在经过点P的函数y=的图象上运动,k的值为 ,OM长的最小值为 .
20.(4分)如图已知A1,A2,A3,…An是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=An﹣1An=1,分别过点A1,A2,A3,…An作x轴的垂线交二次函数y=x2(x>0)的图象于点P1,P2,P3,…Pn,若记△OA1P1的面积为S1,过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1,记△P1B1P2的面积为S2,过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2,记△P2B2P3的面积为S3,…依次进行下去,则S3= ,最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn(n>1)的面积为Sn,则Sn= .
三、解答题(本大题共8小题,共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
21.(8分)解方程:
(1)x2﹣2x﹣15=0;
(2)4x(2x+1)=3(2x+1).
22.(6分)如图所示,点A(,3)在双曲线y=上,点B在双曲线y=上,且AB∥x轴,C,D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,求它的面积.
23.(8分)已知二次函数的解析式是y=.
(1)用配方法将y=化成y=a(x﹣h)2+k的形式,并写出该二次函数的对称轴和顶点坐标;
(2)二次函数y=的图象与x轴相交吗?说明理由;若相交,求出交点坐标.
24.(8分)某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后,想利用此知识来探究周长一定时,矩形的面积与边长函数关系式的图象.请将他们的探究过程补充完整.
(1)列函数表达式:若矩形的周长为8,设矩形的一边长为x,面积为y,则有y= ;
(2)上述函数表达式中,自变量x的取值范围是 ;
(3)列表:
x
…
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
y
…
1.75
3
3.75
4
3.75
3
m
…
写出m= ;
(4)画图:在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点,请你画出该函数的图象.
25.(8分)如图,A、B两点的坐标分别为(﹣2,0),(0,3),将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC,过点C作CD⊥OB,垂足为D,反比例函数y=的图象经过点C.
(1)直接写出点C的坐标,并求反比例函数的解析式;
(2)点P在反比例函数y=的图象上,当△PCD的面积为3时,求点P的坐标.
26.(8分)如图,△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,BO的延长交边AC于点D.
(1)求证:∠BAC=2∠ABD;
(2)当△BCD是等腰三角形时,求∠BCD的大小.
27.(8分)如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,⊙O经过点A、C、D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交⊙O于点F.
求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;
(2)AF=EF.
28.(10分)甲经销商库存有1200套A品牌服装,每套进价400元,每套售价500元,一年内可卖完.现市场上流行B品牌服装,每套进价300元,每套售价600元,但一年内只允许经销商一次性订购B品牌服装,一年内B品牌服装销售无积压.因甲经销商无流动资金,只有低价转让A品牌服装,用转让来的资金购进B品牌服装,并销售.经与乙经销商协商,甲、乙双方达成转让协议,转让价格y(元/套)与转让数量x(套)之间的函数关系式为y=.若甲经销商转让x套A品牌服装,一年内所获总利润为w(元).
(1)求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q1(元)与x(套)之间的函数关系式;
(2)求B品牌服装的销售款Q2(元)与x(套)之间的函数关系式;
(3)求w(元)与x(套)之间的函数关系式,并求w的最大值.
2021年河北省承德市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共16个小题,1-10题,每题3分,11-16题,每题2分,共42分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)下列方程中,一元二次方程是( )
A.x2+ B.ax2+bx
C.(x﹣1)(x+2)=1 D.3x2﹣2xy﹣5y2=0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.
一元二次方程必须满足四个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)是整式方程;
(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.
【解答】解:
A、不是整式方程,故错误;方程二次项系数可能为0,故错误
B、不是方程;
C、符合一元二次方程的定义,正确;
D、方程含有两个未知数,故错误.
故选:C.
2.(3分)一元二次方程4x2﹣4x+1=0根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
【分析】根据根的判别式即可求出答案.
【解答】解:△=16﹣4×1×4=0,
故选:A.
3.(3分)已知甲、乙两地相距s(km),汽车从甲地匀速行驶到乙地,则汽车行驶的时间t(h)与行驶速度v(km/h)的函数关系图象大致是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据实际意义,写出函数的解析式,根据函数的类型,以及自变量的取值范围即可进行判断.
【解答】解:根据题意有:v•t=s;
故v与t之间的函数图象为反比例函数,
且根据实际意义v>0、t>0,
其图象在第一象限.
故选:C.
4.(3分)下列各点中,在函数y=﹣图象上的是( )
A.(﹣2,﹣4) B.(2,3) C.(﹣1,6) D.(﹣,3)
【分析】根据反比例函数中k=xy的特点对各选项进行分析即可.
【解答】解:A、∵(﹣2)×(﹣4)=8≠﹣6,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误;
B、∵2×3=6≠﹣6,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误;
C、∵(﹣1)×6=﹣6,∴此点在反比例函数的图象上,故本选项正确;
D、∵(﹣)×3=﹣≠﹣6,∴此点不在反比例函数的图象上,故本选项错误.
故选:C.
5.(3分)若双曲线位于第二、四象限,则k的取值范围是( )
A.k<1 B.k≥1 C.k>1 D.k≠1
【分析】由反比例函数图象的位置在第二、四象限,可以得出k﹣1<0,然后解这个不等式就可以求出k的取值范围.
【解答】解:∵双曲线位于第二、四象限,
∴k﹣1<0,
∴k<1.
故选:A.
6.(3分)抛物线y=(x+5)2﹣1的顶点坐标是( )
A.(5,﹣1) B.(﹣5,1) C.(5,1) D.(﹣5,﹣1)
【分析】根据二次函数的顶点求解即可.
【解答】解:抛物线y=(x+5)2﹣1的顶点坐标是(﹣5,﹣1),
故选:D.
7.(3分)在平面直角坐标系中,将抛物线y=3x2先向右平移1个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式是( )
A.y=3(x+1)2+2 B.y=3(x+1)2﹣2
C.y=3(x﹣1)2+2 D.y=3(x﹣1)2﹣2
【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0),则抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2),然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式.
【解答】解:∵抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0),
∴抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2),
∴平移后抛物线的解析式为y=3(x﹣1)2+2.
故选:C.
8.(3分)如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为6,P为弦AB上的动点,则线段OP长的取值范围是( )
A.3≤OP≤5 B.4<OP<5 C.4≤OP≤5 D.3<OP<5
【分析】连接OA,过点O作OH⊥AB于H,根据垂径定理求出AH,根据勾股定理求出OH,根据垂线段最短解答即可.
【解答】解:连接OA,过点O作OH⊥AB于H,
则AH=HB=AB=3,
由勾股定理得,OH==4,
当点P与点A(或点B)重合时,OP最大,当点P与得H重合时,OP最小,
∴线段OP长的取值范围是4≤OP≤5,
故选:C.
9.(3分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠A=60°,则∠DCE的度数是( )
A.60° B.120° C.90° D.无法确定
【分析】直接利用圆内接四边形的性质:外角等于它的内对角得出答案.
【解答】解:∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠DCE=∠A=60°,
故选:A.
10.(3分)如图,在⊙O中,点A、B、C在⊙O上,且∠ACB=110°,则∠α=( )
A.70° B.110° C.120° D.140°
【分析】作所对的圆周角∠ADB,如图,利用圆内接四边形的性质得∠ADB=70°,然后根据圆周角定理求解.
【解答】解:作所对的圆周角∠ADB,如图,
∵∠ACB+∠ADB=180°,
∴∠ADB=180°﹣110°=70°,
∴∠AOB=2∠ADB=140°.
故选:D.
11.(2分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=CD,A为中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
【分析】连接OA、OB、OD,OC,求出==,求出∠AOB=∠AOD=∠DOC,根据圆周角定理求出∠BOC,再求出∠AOB,最后根据圆周角定理求出即可.
【解答】解:连接OA、OB、OD,OC,
∵∠BDC=60°,
∴∠BOC=2∠BDC=120°,
∵AB=DC,
∴∠AOB=∠DOC,
∵A为的中点,
∴=,
∴∠AOB=∠AOD,
∴∠AOB=∠AOD=∠DOC=×(360°﹣∠BOC)=80°,
∴∠ADB=AOB=40°,
故选:A.
12.(2分)如图,⊙O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=﹣x2的图象,则阴影部分的面积是( )
A.π B.2π C.4π D.都不对
【分析】不规则图形面积通过对称转化为可求的图形面积.
【解答】解:∵C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=﹣x2的图象,
∴两函数图象关于x轴对称,
∴阴影部分面积即是半圆面积,
∴阴影部分的面积S==2π.
故选:B.
13.(2分)反比例函数y=(m≠0)的图象如图所示,以下结论:①常数m<﹣1;②在每个象限内,y随x的增大而增大;③若A(﹣1,h),B(2,k)在图象上,则h<k;④若P(x,y)在图象上,则P′(﹣x,﹣y)也在图象上,其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号,利用反比例函数的性质进行判断即可.
【解答】解:∵反比例函数的图象位于一三象限,
∴m>0
故①错误;
当反比例函数的图象位于一三象限时,在每一象限内,y随x的增大而减小,故②错误;
将A(﹣1,h),B(2,k)代入y=得到h=﹣m,2k=m,
∵m>0
∴h<k
故③正确;
将P(x,y)代入y=得到m=xy,
将P′(﹣x,﹣y)代入y=得到m=xy,
故P(x,y)在图象上,则P′(﹣x,﹣y)也在图象上
故④正确,
故选:C.
14.(2分)如图,已知双曲线y=(k<0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(﹣6,4),则△AOC的面积为( )
A.12 B.9 C.6 D.4
【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积,由点A的坐标为(﹣6,4),根据三角形的面积公式,可知△AOB的面积=12,由反比例函数的比例系数k的几何意义,可知△BOC的面积=|k|.只需根据OA的中点D的坐标,求出k值即可.
【解答】解:∵OA的中点是D,点A的坐标为(﹣6,4),
∴D(﹣3,2),
∵双曲线y=经过点D,
∴k=﹣3×2=﹣6,
∴△BOC的面积=|k|=3.
又∵△AOB的面积=×6×4=12,
∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9.
故选:B.
15.(2分)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,y<0时自变量x的取值范围是( )
A.﹣1<x<5 B.x>5 C.x<﹣1且x>5 D.x<﹣1或x>5
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标,根据图象即可解决问题.
【解答】解:由图象可知,抛物线与x轴的交点坐标分别为(﹣1,0)和(5,0),
∴y<0时,x的取值范围为x<﹣1或x>5.
故选:D.
16.(2分)关于二次函数y=x2﹣6x+a+27,下列说法错误的是( )
A.若将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后过点(4,5),则a=﹣5
B.当x=12时,y有最小值a﹣9
C.x=2对应的函数值比最小值大7
D.当a<0时,图象与x轴有两个不同的交点
【分析】求出二次函数平移之后的表达式,将(4,5)代入,求出a即可判断A;将函数表达式化为顶点式,即可判断B;求出当x=2时的函数值,减去函数最小值即可判断C;写出函数对应方程的根的判别式,根据a值判断判别式的值,即可判断D.
【解答】解:A、将二次函数向上平移10个单位,再向左平移2个单位后,
表达式为:,
若过点(4,5),
则,解得:a=﹣5,故选项正确;
B、∵,开口向上,
∴当x=12 时,y有最小值a﹣9,故选项正确;
C、当x=2时,y=a+16,最小值为a﹣9,a+16﹣(a﹣9)=25,即x=2对应的函数值比最小值大25,故选项错误;
D、△=,当a<0时,9﹣a>0,
即方程有两个不同的实数根,即二次函数图象与x轴有两个不同的交点,故选项正确,
故选:C.
二、填空题(本大题共4个小题:17、18每小题3分,19、20每空2分,共14分把正确答案填在横线上)
17.(3分)已知x=1是关于x的方程x2+mx+n=0的一个根,则m+n的值是 ﹣1 .
【分析】根据一元二次方程的解的定义,将x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0,即可求得m+n的值.
【解答】解:∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,
∴x=1满足一元二次方程x2+mx+n=0,
∴1+m+n=0,
∴m+n=﹣1;
故答案为:﹣1.
18.(3分)抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,3),B(2,3),抛物线的对称轴为 直线x=1 .
【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称,再根据中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可.
【解答】解:∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,3)和B(2,3),
∴此两点关于抛物线的对称轴对称,
∴x==1.
故答案为:直线x=1.
19.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A(8,0),C(0,6),矩形OABC的对角线交于点P,点M在经过点P的函数y=的图象上运动,k的值为 12 ,OM长的最小值为 2 .
【分析】先根据P(4,3),求得k=4×3=12,进而得出y=,再根据双曲线的对称性可得,当点M在第一象限角平分线上时,OM最短,即当x=y时,x=,解得x=±2,进而得到OM的最小值.
【解答】解:∵A(8,0),C(0,6),矩形OABC的对角线交于点P,
∴P(4,3),
代入函数y=可得,k=4×3=12,
∴y=,
∵点M在经过点P的函数y=的图象上运动,
∴根据双曲线的对称性可得,当点M在第一象限角平分线上时,OM最短,
当x=y时,x=,
解得x=±2,
又∵x>0,
∴x=2,
∴M(2,2),
∴OM==2,
故答案为:12,2.
20.(4分)如图已知A1,A2,A3,…An是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=An﹣1An=1,分别过点A1,A2,A3,…An作x轴的垂线交二次函数y=x2(x>0)的图象于点P1,P2,P3,…Pn,若记△OA1P1的面积为S1,过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1,记△P1B1P2的面积为S2,过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2,记△P2B2P3的面积为S3,…依次进行下去,则S3= ,最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn(n>1)的面积为Sn,则Sn= .
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征,求出P1(1,),则根据三角形面积公式计算出S1=,同样可得S2=;S3=,S4=,所有相应三角形的面积等于分母为4,分子为奇数的分式,从而得到Sn=.
【解答】解:当x=1时,y=x2=,则P1(1,),所以S1=×1×=;
当x=2时,y=x2=2,则P2(2,2),所以S2=×1×(2﹣)=;
当x=3时,y=x2=,则P3(3,),所以S3=×1×(﹣2)=,
同样方法可得S4=,
所以Sn=.
故答案为,.
三、解答题(本大题共8小题,共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
21.(8分)解方程:
(1)x2﹣2x﹣15=0;
(2)4x(2x+1)=3(2x+1).
【分析】利用因式分解法求解即可.
【解答】解:(1)∵x2﹣2x﹣15=0,
∴(x﹣5)(x+3)=0,
则x﹣5=0或x+3=0,
解得x1=5,x2=﹣3;
(2)∵4x(2x+1)=3(2x+1),
∴4x(2x+1)﹣3(2x+1)=0,
则(2x+1)(4x﹣3)=0,
∴2x+1=0或4x﹣3=0,
解得x1=﹣0.5,x2=0.75.
22.(6分)如图所示,点A(,3)在双曲线y=上,点B在双曲线y=上,且AB∥x轴,C,D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,求它的面积.
【分析】由点A的坐标以及AB∥x轴,可得出点B的坐标,从而得出AD、AB的长度,利用矩形的面积公式即可得出结论.
【解答】解:∵A(,3),AB∥x轴,点B在双曲线y=上,
∴B(1,3),
∴AB=1﹣=,AD=3,
∴S=AB•AD=×3=2.
23.(8分)已知二次函数的解析式是y=.
(1)用配方法将y=化成y=a(x﹣h)2+k的形式,并写出该二次函数的对称轴和顶点坐标;
(2)二次函数y=的图象与x轴相交吗?说明理由;若相交,求出交点坐标.
【分析】(1)y==(x2﹣6x+9)﹣+=(x﹣3)2﹣2,即可求解;
(2)由(1)知a=0,顶点在第四象限,抛物线开口向上,故图象与x轴相交,令y==0,解得:x=5或1,即可求解.
【解答】解:(1)y==(x2﹣6x+9)﹣+=(x﹣3)2﹣2,
故对称轴为x=3,顶点坐标为:(3,﹣2);
(2)由(1)知a=0,顶点在第四象限,抛物线开口向上,故图象与x轴相交,
令y==0,解得:x=5或1,
故交点坐标为:(5,0)、(1,0).
24.(8分)某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后,想利用此知识来探究周长一定时,矩形的面积与边长函数关系式的图象.请将他们的探究过程补充完整.
(1)列函数表达式:若矩形的周长为8,设矩形的一边长为x,面积为y,则有y= y=﹣x2+4x ;
(2)上述函数表达式中,自变量x的取值范围是 0<x<4 ;
(3)列表:
x
…
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
y
…
1.75
3
3.75
4
3.75
3
m
…
写出m= 1.75 ;
(4)画图:在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点,请你画出该函数的图象.
【分析】根据二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题.
【解答】解:(1)由题意:y=x(4﹣x)=﹣x2+4x.
故答案为:y=﹣x2+4x;
(2)上述函数表达式中,自变量x的取值范围是0<x<4.
故答案为:0<x<4.
(3)x=3.5时,y=1.75,
∴m=1.75.
故答案为:1.75.
(4)函数图象如图所示:
25.(8分)如图,A、B两点的坐标分别为(﹣2,0),(0,3),将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC,过点C作CD⊥OB,垂足为D,反比例函数y=的图象经过点C.
(1)直接写出点C的坐标,并求反比例函数的解析式;
(2)点P在反比例函数y=的图象上,当△PCD的面积为3时,求点P的坐标.
【分析】(1)根据旋转的性质和全等三角形的性质求得C点的坐标,即可求得结论;
(2)由解析式设出P点的坐标,根据三角形面积公式得出方程,解方程可求得P点坐标.
【解答】解:(1)∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∵CD⊥OB,
∴∠CDB=∠AOB=∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBD=∠CBD+∠DCB=90°,
∴∠ABO=∠DCB,
∴△ABO≌△BCD(AAS),
∴CD=OB=3,BD=OA=2,
∴OD=3﹣2=1,
∴C点的坐标为(3,1),
∴k=3×1=3,
∴反比例函数的解析式为:;
(2)设P(,m),
∵CD⊥y轴,CD=3,
由△PCD的面积为3得:CD•|m﹣1|=3,
∴×3|m﹣1|=3,
∴m﹣1=±2,
∴m=3或m=﹣1,
当m=3时,=1,当m=﹣1时,=﹣3,
∴点P的坐标为(1,3)或(﹣3,﹣1).
26.(8分)如图,△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,BO的延长交边AC于点D.
(1)求证:∠BAC=2∠ABD;
(2)当△BCD是等腰三角形时,求∠BCD的大小.
【分析】(1)连接OA并延长AO交BC于E,证明∠BAC=2∠BAE和∠ABD=∠BAE即可得结论,
(2)设∠ABD为x,用x表示出有关的角,再列方程即得答案.
【解答】解(1)连接OA并延长AO交BC于E,
∵AB=AC,
∴弧AB=弧AC,
∵AE过圆心O,
∴AE垂直平分BC(平分弧的直径垂直平分弧所对的弦),
∴AE平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAE,
∵OA=OB,
∴∠ABD=∠BAE,
∴∠BAC=2∠ABD;
(2)设∠ABD=x,
由(1)知∠BAC=2∠ABD=2x,
∴∠BDC=3x,
△BCD是等腰三角形,
①若BD=BC,
则∠C=∠BDC=3x,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=3x,
在△ABC中,∠ABC+∠C+∠BAC=180°,
∴3x+3x+2x=180°,
解得x=22.5°,
∴∠BCD=3x=67.5°,
②若BC=CD,则∠BDC=∠CBD=3x,
∴∠ABC=∠ACB=4x,
在△ABC中,∠ABC+∠C+∠BAC=180°,
∴4x+4x+2x=180°,
∴x=18°,
∴∠BCD=4x=72°,
综上所述,△BCD是等腰三角形,∠BCD为67.5°或72°.
27.(8分)如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,⊙O经过点A、C、D,交BC于点E,过点D作DF∥BC,交⊙O于点F.
求证:(1)四边形DBCF是平行四边形;
(2)AF=EF.
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出∠BAC=∠B,根据平行线的性质得出∠ADF=∠B,求出∠ADF=∠CFD,根据平行线的判定得出BD∥CF,根据平行四边形的判定得出即可;
(2)求出∠AEF=∠B,根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF=180°,根据平行线的性质得出∠ECF+∠B=180°,求出∠AEF=∠EAF,根据等腰三角形的判定得出即可.
【解答】证明:(1)∵AC=BC,
∴∠BAC=∠B,
∵DF∥BC,
∴∠ADF=∠B,
∵∠BAC=∠CFD,
∴∠ADF=∠CFD,
∴BD∥CF,
∵DF∥BC,
∴四边形DBCF是平行四边形;
(2)连接AE,
∵∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF,
∴∠AEF=∠B,
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形,
∴∠ECF+∠EAF=180°,
∵BD∥CF,
∴∠ECF+∠B=180°,
∴∠EAF=∠B,
∴∠AEF=∠EAF,
∴AF=EF.
28.(10分)甲经销商库存有1200套A品牌服装,每套进价400元,每套售价500元,一年内可卖完.现市场上流行B品牌服装,每套进价300元,每套售价600元,但一年内只允许经销商一次性订购B品牌服装,一年内B品牌服装销售无积压.因甲经销商无流动资金,只有低价转让A品牌服装,用转让来的资金购进B品牌服装,并销售.经与乙经销商协商,甲、乙双方达成转让协议,转让价格y(元/套)与转让数量x(套)之间的函数关系式为y=.若甲经销商转让x套A品牌服装,一年内所获总利润为w(元).
(1)求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q1(元)与x(套)之间的函数关系式;
(2)求B品牌服装的销售款Q2(元)与x(套)之间的函数关系式;
(3)求w(元)与x(套)之间的函数关系式,并求w的最大值.
【分析】(1)直接根据销售款=售价×套数即可得出结论;
(2)根据转让价格y(元/套)与转让数量x(套)之间的函数关系式为y=﹣x+360(100≤x≤1200)得出总件数,再与售价相乘即可;
(3)把(1)(2)中的销售款相加再减去成本即可.
【解答】解:(1)∵甲经销商库存有1200套A品牌服装,每套售价500元,转让x套给乙,
∴Q1=500×(1200﹣x)=﹣500x+600000(100≤x≤1200);
(2)∵转让价格y(元/套)与转让数量x(套)之间的函数关系式为y=﹣x+360(100≤x≤1200),B品牌服装,每套进价300元,
∴转让后可购买B服装套,
∴Q2=×600=﹣x2+720x(100≤x≤1200);
(3)∵由(1)、(2)知,Q1=﹣500x+600000,Q2=﹣x2+720x,
∴w=Q1+Q2﹣400×1200
=﹣500x+600000﹣x2+720x﹣480000
=﹣(x﹣550)2+180500,
当x=550时,w有最大值,最大值为180500元.
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