提分专练(07)　以圆为背景的综合计算与证明

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1.如图T7-1,AB是☉O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:CE为☉O的切线.
(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.
图T7-1
2.[2019·长春] 如图T7-2,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作☉O,点E在BC边上,连接AE交☉O于点F,连接BF并延长交CD于点G.
(1)求证:△ABE≌△BCG.
(2)若∠AEB=55°,OA=3,求BF的长.(结果保留π)
图T7-2
3.[2018·河南] 如图T7-3,AB是☉O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交☉O于点C,过点C作☉O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.
(1)求证:CE=EF.
(2)连接AF并延长,交☉O于点G.填空:
①当∠D的度数为 时,四边形ECFG为菱形;
②当∠D的度数为 时,四边形ECOG为正方形.
图T7-3
|类型2| 圆与三角函数结合的问题
4.[2019·镇江] 如图T7-4,在△ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B.
(1)求证:直线AB与☉O相切;
(2)若AB=5,☉O的半径为12,则tan∠BDO= .
图T7-4
5.[2019·随州] 如图T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠BAC=2∠CBF.
(1)求证:BF是☉O的切线;
(2)若☉O的直径为3,sin∠CBF=33,求BC和BF的长.
图T7-5
6.[2018·成都] 如图T7-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;
(3)若BE=8,sinB=513,求DG的长.
图T7-6
|类型3| 圆与相似三角形结合的问题
7.[2018·日照] 如图T7-7所示,☉O的半径为4,点A是☉O上一点,直线l经过点A.P是☉O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l于点B,交☉O于点E,直径PD的延长线交直线l于点F,点A是DE的中点.
(1)求证:直线l是☉O的切线;
(2)若PA=6,求PB的长.
图T7-7
8.[2019·大庆]如图T7-8,☉O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC中点,直线OD与☉O相交于E,F两点,P是☉O外一点,且P在直线OD上,连接PA,PC,AF,满足∠PCA=∠ABC.
(1)求证:PA是☉O的切线;
(2)证明:EF2=4OD·OP;
(3)若BC=8,tan∠AFP=23,求DE的长.
图T7-8
【参考答案】
1.解:(1)证明:如图,连接OD,
∵点C,D为半圆O的三等分点,
∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°.
∵OA=OD,
∴△AOD为等边三角形,
∴∠DAO=60°,
∴AE∥OC.
∵CE⊥AD,
∴CE⊥OC,
∴CE为☉O的切线.
(2)四边形AOCD为菱形.
理由:∵OD=OC,∠COD=60°,
∴△OCD为等边三角形,
∴CD=CO.
同理:AD=AO.
∵AO=CO,
∴AD=AO=CO=DC,
∴四边形AOCD为菱形.
2.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,AB为☉O的直径,
∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°,AB=BC,
∴∠BAF+∠ABF=90°,∠ABF+∠EBF=90°,
∴∠EBF=∠BAF,
在△ABE与△BCG中,
∠BAF=∠EBF,AB=BC,∠ABE=∠BCG,
∴△ABE≌△BCG(ASA).
(2)连接OF,
∵∠ABE=∠AFB=90°,∠AEB=55°,
∴∠BAE=90°-55°=35°,
∴∠BOF=2∠BAE=70°.
∵OA=3,
∴BF的长=70×π×3180=7π6.
3.解:(1)证明:连接OC.
∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE.
∴∠FCO+∠ECF=90°.
∵DO⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°.
∵∠CFE=∠BFO,
∴∠B+∠CFE=90°.
∵OC=OB,∴∠FCO=∠B.
∴∠ECF=∠CFE.
∴CE=EF.
(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∴∠DCF=90°.
∴∠DCE+∠ECF=90°,∠D+∠EFC=90°.
由(1)得∠ECF=∠CFE,
∴∠D=∠DCE.
∴ED=EC.
∴ED=EC=EF.
即点E为线段DF的中点.
①四边形ECFG为菱形时,CF=CE.
∵CE=EF,∴CE=CF=EF.
∴△CEF为等边三角形.
∴∠CFE=60°.
∴∠D=30°.
故填30°.
②四边形ECOG为正方形时,△ECO为等腰直角三角形.
∴∠CEF=45°.
∵∠CEF=∠D+∠DCE,
∴∠D=∠DCE=22.5°.
故填22.5°.
4.解:(1)证明:连接OB,如图所示.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ACB=∠OCD,
∴∠ABC=∠OCD.
∵OD⊥AO,
∴∠COD=90°,
∴∠D+∠OCD=90°.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠D,
∴∠OBD+∠ABC=90°,
即∠ABO=90°,
∴AB⊥OB,
∵点B在☉O上,
∴直线AB与☉O相切.
(2)∵∠ABO=90°,
∴OA=AB2+OB2=52+122=13,
∵AC=AB=5,
∴OC=OA-AC=8,
∴tan∠BDO=OCOD=812=23.
故答案为:23.
5.解:(1)证明:连接AE,
∵AB为直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC.
∵AB=AC,∴BE=EC,∠BAE=∠CAE.
∵∠BAC=2∠CBF,∴∠BAE=∠CBF.
∵∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠CBF+∠ABE=90°,
∴AB⊥BF,∴BF是☉O的切线.
(2)由(1)得∠BAE=∠CBF,
∴sin∠CBF=sin∠BAE=33,
∵∠AEB=90°,AB=3,
∴BE=ABsin∠BAE=3,
∴BC=2BE=23.
过点C作CH⊥BF于H点,
在Rt△CBH中,CH=BCsin∠CBF=2,BH=22,
∵CH⊥BF,AB⊥BF,∴AB∥CH,
∴△FCH∽△FAB,∴FHBF=CHAB,
∴BF-22BF=23,
∴BF=62.
6.[解析](1)连接OD,根据同圆半径相等及角平分线条件得到∠DAC=∠ODA,得OD∥AC,切线得证;(2)连接EF,DF,根据直径所对圆周角为直角,证明∠AFE=90°,可得EF∥BC,因此∠B=∠AEF,再利用同弧所对圆周角相等可得∠B=∠ADF,从而证明△ABD∽△ADF,可得AD与AB,AF的关系;(3)根据∠AEF=∠B,利用三角函数,分别在Rt△DOB和Rt△AFE中求出半径和AF,代入(2)的结论中,求出AD,再利用两角对应相等,证明△OGD∽△FGA,再利用对应边成比例,求出DG∶AG的值,即可求得DG的长.
解:(1)证明:连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠DAC,
∴∠DAC=∠ODA,
∴OD∥AC,
∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC.
∵OD为☉O的半径,∴BC是☉O的切线.
(2)连接EF,DF.∵AE为☉O的直径,
∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠C=90°,
∴EF∥BC,∴∠B=∠AEF.
∵∠ADF=∠AEF,∴∠B=∠ADF.
又∵∠OAD=∠DAC,∴△ABD∽△ADF,
∴ABAD=ADAF,∴AD2=AB·AF,∴AD=xy.
(3)设☉O半径为r,
在Rt△DOB中,sinB=ODOB=513,
∴rr+8=513,解得r=5,∴AE=10.
在Rt△AFE中,sin∠AEF=sinB=AFAE,
∴AF=10×513=5013,
∴AD=18×5013=301313.
∵∠ODA=∠DAC,∠DGO=∠AGF,
∴△OGD∽△FGA,
∴DGAG=ODAF=1310,∴DGAD-DG=1310,
∴DG=302313.
7.解:(1)证明:连接OA.
∵OA=OP,
∴∠OAP=∠OPA.
∵点A是DE的中点,
∴DA=AE,
∴∠DPA=∠APB,
∴∠OAP=∠APB.∴OA∥PB.
∵PB⊥l,∴OA⊥l,
∴直线l是☉O的切线.
(2)连接AD,∵PD是直径,
∴∠PAD=90°,∴∠PAD=∠PBA.
又∵∠DPA=∠APB,
∴△PAD∽△PBA,
∴PDPA=PAPB,即86=6PB,∴PB=92.
8.解:(1)因为点D是AC中点,所以OD⊥AC,所以PA=PC,所以∠PCA=∠PAC,因为AB是☉O的直径,
所以∠ACB=90°,所以∠ABC+∠BAC=90°,
因为∠PCA=∠ABC,所以∠PAC=∠ABC,
所以∠PAC+∠BAC=90°,所以PA⊥AB,所以PA是☉O的切线.
(2)因为∠PAO=∠ADO=90°,∠AOD=∠POA,所以△PAO∽△ADO,所以AOPO=ODOA,
所以AO2=OD·OP,
所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD·OP.
(3)因为tan∠AFP=23,所以设AD=2x,
则FD=3x,
连接AE,易证△ADE∽△FDA,
所以EDAD=ADFD=2x3x,
所以ED=23AD=43x,
所以EF=133x,EO=136x,DO=56x,
在△ABC中,DO为中位线,
所以DO=12BC=4,
所以56x=4,x=245,所以ED=43x=325.