提分专练04　二次函数小综合

提分专练(四)　二次函数小综合

|类型1|　二次函数与方程(不等式)的综合

1.[2018·南京] 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).

(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点;

(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?

|类型2|　二次函数与直线的综合

2.[2018·苏州] 如图T4-1,已知抛物线y=x2-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点.直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D.

(1)求线段AD的长;

(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C'.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.

图T4-1

|类型3|　二次函数与三角形的综合

3.[2018·枣庄] 如图T4-2①,已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),连接AB,AC.

(1)请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;

(2)判断△ABC的形状,并说明理由;

(3)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标;

(4)如图②,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求点N的坐标.

图T4-2

|类型4|　二次函数与平行四边形的综合

4.[2018·恩施] 如图T4-3,已知抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于C点,A点坐标为(-1,0),OC=2,OB=3,点D为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)P为坐标平面内一点,以B,C,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求P点坐标.

图T4-3

|类型5|　二次函数与相似三角形的综合

5.[2018·青海] 如图T4-4,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作直线BC.

图T4-4

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P为抛物线上第一象限内一动点,过点P作PD⊥x轴于点D,设点P的横坐标为t(0<t<3),求△ABP的面积S与t的函数关系式;

(3)条件同(2),若△ODP与△COB相似,求点P的坐标.

参考答案

1.解:(1)证明:当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3.

当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+3≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根.所以,不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点.

(2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6.

当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.

2.解:(1)由x2-4=0解得x1=2,x2=-2.

∵点A位于点B的左侧,

∴A(-2,0).

∵直线y=x+m经过点A,

∴-2+m=0,

∴m=2,∴D(0,2).

∴AD==2.

(2)∵新抛物线经过点D(0,2),

∴设新抛物线对应的函数表达式为y=x2+bx+2,

∴y=x2+bx+2=x+2+2-.

∵直线CC'平行于直线AD,并且经过点C(0,-4),

∴直线CC'的函数表达式为y=x-4.

∴2-=--4,整理得b2-2b-24=0,

解得b1=-4,b2=6.

∴新抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+2或y=x2+6x+2.

3.[解析] (1)根据待定系数法即可求得;

(2)根据抛物线的表达式求得B的坐标,然后根据勾股定理分别求得AB2=20,AC2=80,BC=10,然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形;

(3)分别以A,C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,即可求得点N的坐标;

(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,根据三角形相似对应边成比例求得MD=(n+2),然后根据S△AMN=S△ABN-S△BMN得出关于n的二次函数,根据函数表达式求解即可.

解:(1)∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),

∴

解得

∴抛物线表达式为y=-x2+x+4.

(2)△ABC是直角三角形.理由:

令y=0,则-x2+x+4=0,

解得x1=8,x2=-2,

∴点B的坐标为(-2,0).

由已知可得,

在Rt△ABO中,AB2=BO2+AO2=22+42=20,

在Rt△AOC中,AC2=AO2+CO2=42+82=80,

又∵BC=OB+OC=2+8=10,

∴在△ABC中,AB2+AC2=20+80=102=BC2,

∴△ABC是直角三角形.

(3)∵A(0,4),C(8,0),

∴AC==4.

①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(-8,0);

②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(8-4,0)或(8+4,0);

③作AC的垂直平分线,交x轴于N,此时N的坐标为(3,0).

综上,若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0),(8-4,0),(3,0),(8+4,0).

(4)设点N的坐标为(n,0),则BN=n+2,过M点作MD⊥x轴于点D,

∴MD∥OA,

∴△BMD∽△BAO,

∴=.

∵MN∥AC,

∴=,

∴=.

∵OA=4,BC=10,BN=n+2,

∴MD=(n+2).

∵S△AMN=S△ABN-S△BMN

 =BN·OA-BN·MD

 =(n+2)×4-×(n+2)2

 =-(n-3)2+5,

∴当△AMN面积最大时,N点坐标为(3,0).

4.解:(1)∵OC=2,OB=3,

∴C(0,2),B(3,0).

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+2,

将A(-1,0),B(3,0)代入得

解得

∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.

(2)∵D为抛物线y=-x2+x+2的顶点,

∴D1,.

∵C(0,2),B(3,0),

∴①当四边形DCBP1为平行四边形时,BP1可由CD平移得到,由点C到点D横坐标加1个单位,纵坐标加个单位,得P14,;

②当四边形DP2CB为平行四边形时,CP2可由BD平移得到,由点B到点D横坐标减2个单位,纵坐标加个单位,得P2-2,;

③当四边形CP3BD为平行四边形时,BP3可由DC平移得到,由点D到点C横坐标减1个单位,纵坐标减个单位,得P3.

综上所述,当P的坐标为或或时,以B,C,D,P为顶点的四边形是平行四边形.

5.解:(1)将A(-1,0),B(3,0),C(0,2)代入解析式y=ax2+bx+c得,

解得

∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.

(2)连接AP,BP,

∵Pt,-t2+t+2,

∴PD=-t2+t+2,又AB=4,

∴S△ABP=×4×-t2+t+2

=-t2+t+4(0<t<3).

(3)①当△BOC∽△PDO时,

=,

∴=,

3t=2-t2+t+2,

4t2+t-12=0.

∴t1=(舍去),t2=.

∴P,.

②当△BOC∽△ODP时,

=,

∴=,

2t=3-t2+t+2,

t2-t-3=0.

∴t1=(舍去),

t2=,

∴P,.

综上所述,点P的坐标为,或,.