提分专练03　一次函数与反比例函数的综合

提分专练(三)　一次函数与反比例函数的综合

|类型1|　一次函数与反比例函数的综合

1.[2018·襄阳] 如图T3-1,已知双曲线y1=与直线y2=ax+b交于点A(-4,1)和点B(m,-4).

(1)求双曲线和直线的解析式;

(2)直接写出线段AB的长和y1>y2时x的取值范围.

图T3-1

2.[2018·贵港] 如图T3-2,已知反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=-x+4的图象交于A和B(6,n)两点.

(1)求k和n的值;

(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=(x>0)的图象上,求当2≤x≤6时,函数值y的取值范围.

图T3-2

3.[2018·枣庄] 如图T3-3,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=(n为常数,且n≠0)的图象在第二象限交于点C,CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式;

(2)记两函数图象的另一个交点为E,求△CDE的面积;

(3)直接写出不等式kx+b≤的解集.

图T3-3

4.[2018·宜宾] 如图T3-4,已知反比例函数y=(m≠0)的图象经过点(1,4),一次函数y=-x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q(-4,n).

(1)求反比例函数与一次函数的表达式;

(2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,与反比例函数图象的另一个交点为P点,连接OP,OQ,求△OPQ的面积.

图T3-4

5.[2017·广安] 如图T3-5,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,2),与y轴的负半轴交于点B,且OB=6.

(1)求函数y=和y=kx+b的解析式.

(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内,求反比例函数y=的图象上一点P,使得S△POC=9.

图T3-5

6.[2018·北京] 在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y=x+b与图象G交于点B,与y轴交于点C.

(1)求k的值.

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域(不含边界)为W.

①当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数.

②若区域W内恰有4个整点,结合图象,求b的取值范围.

|类型2|　反比例函数的实际应用

7.[2018·乐山] 某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜,图T3-6是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB,BC表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.

请根据图中信息解答下列问题:

(1)求这天的温度y与时间x(0≤x≤24)的函数关系式;

(2)求恒温系统设定的恒定温度;

(3)若大棚内的温度低于10℃,蔬菜会受到伤害,问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?

图T3-6

参考答案

1.解:(1)∵双曲线y1=经过点A(-4,1),

∴k=-4×1=-4,∴双曲线的解析式为y1=-.

∵双曲线y1=-经过点B(m,-4),

∴-4m=-4,∴m=1,∴B(1,-4).

∵直线y2=ax+b经过点A(-4,1)和点B(1,-4),

∴解得

∴直线的解析式为y2=-x-3.

(2)AB=5,y1>y2时,x的取值范围是-4<x<0或x>1.

提示:由两点间距离坐标公式得AB==5.

在图象中找出双曲线在直线上方的部分,确定这部分x的取值范围是-4<x<0或x>1.

2.解:(1)把B(6,n)代入一次函数y=-x+4中,可得n=-×6+4=1,

所以B点的坐标为(6,1).

又B在反比例函数y=(x>0)的图象上,

所以k=xy=1×6=6,

所以k的值为6,n的值为1.

(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=.

当x=2时,y==3;当x=6时,y==1,

由函数图象可知,当2≤x≤6时函数值y的取值范围是1≤y≤3.

3.解:(1)∵OB=2OA=3OD=12,

∴OA=6,OB=12,OD=4,

∴A(6,0),B(0,12),点D的横坐标为-4,

把点A,点B的坐标代入y=kx+b得0=6k+b,b=12,

∴k=-2,一次函数的解析式为y=-2x+12.

点C与点D的横坐标相同,代入y=-2x+12得点C的纵坐标为20,即C(-4,20),

∴20=,n=-80,

∴反比例函数的解析式为y=-.

(2)由y=-2x+12和y=-得-2x+12=-,

解得x1=-4,x2=10,∴E(10,-8),

∴△CDE的面积为×20×(10+4)=140.

(3)由图象可得-4≤x<0或x≥10.

4.解:(1)∵反比例函数y=(m≠0)的图象经过点(1,4),

∴4=,解得m=4,

故反比例函数的表达式为y=.

∵Q(-4,n)在反比例函数的图象上,

∴n==-1,∴Q(-4,-1).

∵一次函数y=-x+b的图象过点Q(-4,-1),

∴-1=4+b,解得b=-5,

∴一次函数的表达式为y=-x-5.

(2)由题意可得:

解得或

∴P(-1,-4).

在一次函数y=-x-5中,

令y=0,得-x-5=0,

解得x=-5,故A(-5,0).

∴S△OPQ=S△OPA-S△OAQ=×5×4-×5×1=7.5.

5.解:(1)∵点A(4,2)在反比例函数y=的图象上,

∴m=4×2=8,∴反比例函数的解析式为y=.

∵点B在y轴的负半轴上,且OB=6,

∴点B的坐标为(0,-6),

把A(4,2)和B(0,-6)代入y=kx+b中,得:解得

∴一次函数的解析式为y=2x-6.

(2)设点P的坐标为n,(n>0).

在直线y=2x-6上,当y=0时,x=3,

∴点C的坐标为(3,0),即OC=3,

∴S△POC=OC·yP=×3×=9,

解得n=,∴点P的坐标为,6,

故当S△POC=9时,在第一象限内,反比例函数y=的图象上点P的坐标为,6.

6.解:(1)∵函数y=(x>0)的图象经过点A(4,1),

∴1=,解得k=4.

(2)①如图所示:由图可知区域W内的整点个数有3个:(1,0),(2,0),(3,0).

②由①可知,当直线BC过点(4,0)时,b=-1;当直线BC过点(5,0)时,+b=0,b=-.此时,区域W内的整点个数有4个:(1,0),(2,0),(3,0),(4,0).结合函数图象知-≤b<-1.

当直线BC过点(1,2)时,+b=2,b=.

当直线BC过点(1,3)时,+b=3,b=.此时,区域W内的整点个数有4个:(1,1),(2,1),(3,1),(1,2).结合函数图象知<b≤.

综上,-≤b<-1或<b≤.

7.解:(1)设线段AB的解析式为y=k1x+b(k1≠0,0≤x≤5).

∵线段AB过(0,10),(2,14),

∴解得

∴线段AB的解析式为y=2x+10(0≤x≤5).

∵B在线段AB上,当x=5时,y=20,

∴点B的坐标为(5,20).

∴线段BC的解析式为y=20(5≤x≤10).

设双曲线CD段的解析式为y=(k2≠0,10≤x≤24),

∵点C在线段BC上,

∴点C的坐标为(10,20).

又∵点C在双曲线y=上,∴k2=200.

∴双曲线CD段的解析式为y=(10≤x≤24).

故y=

(2)由(1)知,恒温系统设定的恒定温度为20℃.

(3)把y=10代入y=中,解得x=20,

∴20-10=10.

答:恒温系统最多关闭10小时,蔬菜才能避免受到伤害.