中考数学必考点提分专练07 二次函数简单综合问题（含解析）

|类型1|　二次函数与方程(不等式)的综合

1.[2019·荆门]抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为 (　　)

A.0     B.1     C.2     D.3

[答案] C　

[解析]当x=0时，y=-x2+4x-4=-4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，-4)，

当y=0时，-x2+4x-4=0，解得x1=x2=2，抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，

所以抛物线与坐标轴有2个交点.故选C.

2.[2019·泸州]已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点，且当x<-1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是              (　　)

A.a<2    B.a>-1    C.-1<a≤2    D.-1≤a<2

[答案] D

[解析]y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6，

∵抛物线与x轴没有公共点，∴Δ=(-2a)2-4(a2-3a+6)<0，解得a<2.

∵抛物线的对称轴为直线x=-=a，抛物线开口向上，

而当x<-1时，y随x的增大而减小，

∴a≥-1，∴实数a的取值范围是-1≤a<2.故选D.

3.[2018·南京] 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).

(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；

(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?

解：(1)证明：当y=0时，2(x-1)(x-m-3)=0，解得x1=1，x2=m+3.

当m+3=1，即m=-2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠-2时，方程有两个不相等的实数根.所以，不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点.

(2)当x=0时，y=2m+6，即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是2m+6.

当2m+6>0，即m>-3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.

|类型2|　二次函数与直线的综合

4.[2018·孝感] 如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2，4)，B(1，1)，则方程ax2=bx+c的解是　　x1=-2，x2=1　　. 

[解析]∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2，4)，B(1，1)，∴的解为即方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1.

5.[2019·北京] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上.

(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)已知点P(，-)，Q(2，2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

解：(1)∵抛物线与y轴交于点A，∴令x=0，得y=-，

∴点A的坐标为(0，-).

∵点A向右平移2个单位长度，得到点B，

∴点B的坐标为(2，-.

(2)∵抛物线过点A(0，-)和点B(2，-)，由对称性可得，抛物线对称轴为直线x==1.

(3)根据题意可知，抛物线y=ax2+bx-经过点A(0，-，B(2，-).

①当a>0时，则-<0，

分析图象可得：点P(，-)在对称轴左侧，抛物线上方，点Q(2，2)在对称轴右侧，抛物线上方，此时线段PQ与抛物线没有交点.

②当a<0时，则->0.

分析图象可得：当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时-≤2，即a≤-.

综上所述，当a≤-时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.

|类型3|　二次函数的最值问题

6某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，当每件的定价为多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大. 

解：设每件的定价为x元，每天的销售利润为y元.

根据题意，得y=(x-15)[8+2(25-x)]=-2x2+88x-870.

∴y=-2x2+88x-870=-2(x-22)2+98.

∵a=-2<0，

∴抛物线开口向下，

∴当x=22时，y最大值=98.

7.[2019·台州] 已知函数y=x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点(-2，4).

(1)求b，c满足的关系式；

(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；

(3)若该函数的图象不经过第三象限，当-5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值.

解：(1)将(-2，4)代入y=x2+bx+c，

得4=(-2)2-2b+c，∴c=2b，

∴b，c满足的关系式是c=2b.

(2)把c=2b代入y=x2+bx+c，

得y=x2+bx+2b，

∵顶点坐标是(m，n)，

∴n=m2+bm+2b，

且m=-，即b=-2m，

∴n=-m2-4m.  ∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m.

(3)由(2)的结论，画出函数y=x2+bx+c和函数y=-x2-4x的图象.

∵函数y=x2+bx+c的图象不经过第三象限，∴-4≤-≤0.

①当-4≤-≤-2，即4≤b≤8时，如图①所示，

当x=1时，函数取到最大值y=1+3b，当x=-时，函数取到最小值y=，

∴(1+3b)-=16，即b2+4b-60=0，∴b1=6，b2=-10(舍去)；

②当-2<-≤0，即0≤b<4时，如图②所示，

当x=-5时，函数取到最大值y=25-3b，当x=-时，函数取到最小值y=，

∴(25-3b)-=16，即b2-20b+36=0，

∴b1=2，b2=18(舍去).

综上所述，b的值为2或6.

|类型4|　二次函数与平行四边形的综合

8.[2019·孝感节选] 如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，-4).

(1)点A的坐标为　　　　，点B的坐标为　　　　，线段AC的长为　　　　，抛物线的解析式为　　　　. 

(2)点P是线段BC下方抛物线上的一个动点.如果在x轴上存在点Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标.

解：(1)点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(4，0)；

线段AC的长为2，  抛物线的解析式为：y=x2-x-4.

(2)过点C作x轴的平行线交抛物线于点P.

∵点C(0，-4)，∴-4=x2-x-4，解得x1=2，x2=0，∴P(2，-4).

∴PC=2，若四边形BCPQ为平行四边形，则BQ=CP=2，

∴OQ=OB+BQ=6，∴Q(6，0).

若四边形BPCQ为平行四边形，则BQ=CP=2，

∴OQ=OB-BQ=2，∴Q(2，0).

故以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q点的坐标为(6，0)，(2，0)

|类型5|　二次函数与相似三角形的综合

9.[2019·镇江] 如图，二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B.

(1)点D的坐标是　　　　. 

(2)直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点(不与点D，C重合)，点N的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA，DB分别交于点P，Q，使得△DPQ与△DAB相似.

①当n=时，求DP的长；

②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围　　　　. 

解：(1)(2，9)

(2)∵对称轴为直线x=2，

∴y=×2+1=，

∴C(2，).

由已知可求得A(-，0)，

点A关于直线x=2对称的点的坐标为(，0)，

则直线AD关于直线x=2对称的直线的解析式为y=-2x+13，

令-2x+13=x+1，得x=5，×5+1=3，

∴B(5，3).

①当n=时，N(2，)，

由D(2，9)，A(-，0)，B(5，3)，C(2，)，可得DA=，DB=3，DN=，CD=.

当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，

∵PQ∥AB，∴△DAC∽△DPN，

∴=，∴DP=；

当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，

易得△DNP∽△DCB，

∴=，∴DP=.

综上所述，DP=或.

②<n<　[解析]当PQ∥AB，DB=DP时，△DPN∽△DAC，

∴=，即=，

∴DN=，∴N(2，)，

易知在N(2，)与C(2，)之间时，有且只有一个△DPQ与△DAB相似.

∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，<n<.

故答案为<n<.