中考数学必考点提分专练06 一次函数、反比例函数综合题（含解析）

|类型1|　比较函数值的大小，求自变量取值范围

1．[2019·泸州]如图，一次函数y1=ax+b和反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，则使y1>y2成立的x的取值范围是              (　　)

A.．-2<x<0或0<x<4     B．x<-2或0<x<4

C．x<-2或x>4      D．-2<x<0或x>4

【答案】B

【解析】观察函数图象，发现:当x<-2或0<x<4时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴当y1>y2时，x的取值范围是x<-2或0<x<4.

2．如图，一次函数y1=k1x+b1与反比例函数y2=(x>0)的图象交于A(1，3)，B(3，1)两点，若y1<y2，则x的取值范围是              (　　)

A.．x<1        B．x<3

C．0<x<3        D．x>3或0<x<1

【答案】

【解析】观察函数图象，发现:当．x>3或0<x<1时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴当y1<y2，时，x的取值范围是x>3或0<x<1

3．[2019·扬州]若反比例函数y=-的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y=-x+m的图象上，则m的取值范围是              (　　)

A．m>2       B．m<-2

C．m>2或m<-2     D．-2<m<2

【答案】C

[解析]∵反比例函数y=-图象上的点关于y轴对称的点都在反比例函数y=的图象上，

∴反比例函数y=的图象与一次函数y=-x+m的图象有两个不同的交点，两个函数联立得方程组化简得x2-mx+2=0．

∵有两个不同的交点，∴x2-mx+2=0有两个不等的实根．∴Δ=m2-8>0，

∴m>2或m<-2．

4．[2019·玉林]如图，一次函数y1=(k-5)x+b的图象在第一象限与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，当y1>y2时，x的取值范围是1<x<4，则k=　　4　　．

　[解析]观察图象可知解得

5．已知一次函数y=ax+b，反比例函数y=(a，b，k是常数，且ak≠0)，若其中一部分x，y的对应值如下表，则不等式-8<ax+b<的解集是　　-6<x<-2或0<x<4　　．

[解析]根据表格可得:当x=-2和x=4时，两个函数值相等，因此直线y=ax+b与双曲线y=的交点为(-2，-4)，(4，2)，由表即可得出当x=-6时，一次函数值y=-8，∴不等式-8<ax+b<的解集为-6<x<-2或0<x<4．

6. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2k(k>0)与x轴交于点P，与双曲线y=(x>0)交于点Q，若直线y=4kx-2与直线PQ交于点R(点R在点Q右侧)，当RQ≤PQ时，k的取值范围是　　　k≥　．

 [解析]如图，作QM⊥x轴于M，RN⊥x轴于N，

∴QM∥RN，∴=，

∵RQ≤PQ，∴MN≤PM，

∵直线y=kx+2k(k>0)与x轴交于点P，

∴P(-2，0)，∴OP=2，

解kx+2k=得，x1=-3，x2=1，

∴Q点的横坐标为1，∴M(1，0)，∴OM=1，

∴PM=2+1=3，解kx+2k=4kx-2得，x=，

∴R点的横坐标为，

∴N（，0），∴ON=，

∴MN=-1，

∴-1≤3，解得k≥，故答案为k≥．

7．[2019·巴中]如图，一次函数y1=k1x+b(k1，b为常数，k1≠0)的图象与反比例函数y2=(k2≠0，x>0)的图象交于点A(m，8)与点B(4，2)．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)根据图象说明，当x为何值时，k1x+b-<0．

解:(1)∵点B(4，2)在反比例函数y2=(k2≠0，x>0)的图象上，∴2=，解得k2=8，∴反比例函数解析式为y2=(x>0)．

当y2=8时，8=，

∴m=1，∴点A坐标为(1，8)，

将A(1，8)，B(4，2)的坐标代入y1=k1x+b，

可得

∴一次函数解析式为y1=-2x+10．

(2)由图象可知x的取值范围为0<x<1或x>4．

8．[2019·攀枝花]如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第二象限交于点B，与x轴交于点C，点A在y轴上，满足条件:CA⊥CB，且CA=CB，点C的坐标为(-3，0)，cos∠ACO=．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)直接写出当x<0时，kx+b<的解集．

解:(1)如图，作BH⊥x轴于点H，

则∠BHC=∠BCA=∠COA=90°，

∴∠BCH=∠CAO．

∵点C的坐标为(-3，0)，

∴OC=3．

∵cos∠ACO=，

∴AC=3，AO=6．

在△BHC和△COA中，

∴△BHC≌△COA．

∴BH=CO=3，CH=AO=6．

∴OH=9，即B(-9，3)．

∴m=-9×3=-27，

∴反比例函数的表达式为y=-．

(2)∵在第二象限中，B点右侧一次函数的图象在反比例函数图象的下方，∴当x<0时，kx+b<的解集为-9<x<0．

|类型2|　求几何图形面积

9．[2019·凉山州]如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于              (　　)

A．8     B．6     C．4     D．2

【答案】C　

　[解析]设A点的坐标为(m，)，则C点的坐标为(-m，-)，

∴S△ABC=S△OAB+S△OBC=m×m×=4，故选C．

10．[2019·滁州定远一模]如图，已知反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象相交于A(4，1)，B(a，2)两点，一次函数的图象与y轴交于点C，点D在x轴上，其坐标为(1，0)，则△ACD的面积为              (　　)

A．12     B．9   C．6     D．5

【答案】D　

[解析]∵点A(4，1)在反比例函数y=图象上，∴m=xy=4×1=4，∴y=．

把B(a，2)代入y=得2=，

∴a=2，∴B(2，2)．

把A(4，1)，B(2，2)代入y=kx+b，

得解得

∴一次函数的解析式为y=-x+3．

∵点C在直线y=-x+3上，

∴当x=0时，y=3，∴C(0，3)．

如图，过点A作AE⊥x轴于点E．

∴S△ACD=S梯形AEOC-S△COD-S△DEA=-×1×3-×1×3=5．

11．如图，矩形ABCD的边BC在x轴的负半轴上，顶点D(a，b)在反比例函数y=的图象上，直线AC交y轴点E，且S△BCE=6，则k的值为              (　　)

A．-12    B．-6     C．-2     D．-3

【答案】A　

[解析]∵矩形ABCD，D(a，b)，∴CO=-a，CD=AB=b，∵D(a，b)在反比例函数y=的图象上，∴k=ab，

∵S△BCE=6，∴BC·OE=6，即BC·OE=12，

∵AB∥OE，∴=，即BC·EO=AB·CO，

∴12=b·(-a)，即ab=-12，∴k=-12，故选A．

12．[2019·乐山]如图，点P是双曲线C:y=(x>0)上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB:y=x-2于点Q，连接OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是　　　　．

【答案】3　

[解析]∵点P是双曲线C:y=(x>0)上的一点，∴可设点P坐标为(m，)，∵PQ⊥x轴，Q在y=x-2图象上，∴Q坐标为(m，m-2)，PQ=-(m-2)，∴△POQ的面积=m×[-(m-2)]=-(m-2)2+3，∴当m=2时，△POQ面积最大，最大值为3．

13．[2019·宁波]如图，过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图象交于A，B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC，交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，若AC=3DC，△ADE的面积为8，则k的值为　6　　　．

[解析]连接OE，OD，在Rt△ABE中，点O是AB的中点，∴OE=AB=OA，∴∠OAE=∠OEA，

∵AE为∠BAC的平分线，∴∠OAE=∠DAE，

∴∠OEA=∠DAE，∴AD∥OE，∴S△ADE=S△ADO，

过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，易得S梯形AMND=S△ADO=8，

∵△CAM∽△CDN，CD∶CA=1∶3，∴S△CAM=9，

延长CA交y轴于点P，易得△CAM∽△CPO，可知DC=AP，∴CM∶MO=CA∶AP=3∶1，∴S△CAM∶S△AMO=3∶1，∴S△AMO=3，∵反比例函数图象在第一、三象限，∴k=6．

14．[2019·盐城]如图，一次函数y=x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B(m，2)．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)求△AOB的面积．

解:(1)∵一次函数y=x+1的图象经过点B(m，2)，

∴2=m+1，

解得m=1，则点B的坐标为(1，2)，

∵点B在反比例函数y=(x>0)的图象上，

∴k=2，

∴反比例函数的表达式为y=(x>0)．

(2)易得点A(0，1)，∴OA=1，

过点B作BC⊥y轴，垂足为点C，

则BC就是△AOB的高，BC=1，

∴S△AOB=OA×BC=×1×1=．

15．[2019·遂宁]如图，一次函数y=x-3的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A与点B(a，-4)．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)若动点P是第一象限内双曲线上的点(不与点A重合)，连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．

解:(1)∵点B(a，-4)在一次函数y=x-3的图象上，∴a=-1，∴B(-1，-4)，

∵B(-1，-4)在反比例函数图象上，

∴k=(-1)×(-4)=4，

∴反比例函数的表达式为y=．

(2)如图，设PC交x轴于点H，设P(m，)(m>0)，则C(m，m-3)，

由得x2-3x-4=0，解得x1=-1，x2=4，∴A(4，1)．

∵PC=|+3-m|，OH=m，

∴△POC的面积为3，∴|+3-m|·m=3，

∴m1=2，m2=1，m3=5，m4=-2．

∵m>0，点P与点A不重合，且A(4，1)，

∴m4=-2不合题意，舍去，

∴P点坐标为(1，4)，(2，2)，(5，)．