提分专练(05)　以矩形、菱形、正方形为背景的

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|类型1| 以矩形为背景的问题
1.[2018·连云港] 如图T5-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.
图T5-1
2.[2018·通辽] 如图T5-2,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
图T5-2
3.[2019·鄂州] 如图T5-3,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.
(1)求证:四边形DEBF是平行四边形;
(2)当DE=DF时,求EF的长.
图T5-3
|类型2| 以菱形为背景的问题
4.[2017·北京] 如图T5-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.
(1)求证:四边形BCDE为菱形;
(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.
图T5-4
5.[2019·宁波] 如图T5-5,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证:BG=DE;
(2)若E为AD中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.
图T5-5
|类型3| 以正方形为背景的问题
6.[2018·盐城] 在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T5-6所示.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
图T5-6
7.[2018·遵义] 如图T5-7,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE(1)求证:OM=ON;
(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.
图T5-7
8.[2019·临沂] 如图T5-8,在正方形ABCD中,E是DC边上一点(与D,C不重合),连接AE,将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE,延长EF交BC于点G,连接AG,作GH⊥AG,与AE的延长线交于点H,连接CH.显然AE是∠DAF的平分线,EA是∠DEF的平分线.仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角的平分线),并说明理由.
图T5-8
【参考答案】
1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,
∵E是AD的中点,∴AE=DE,
又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,
又∵CD∥AF,
∴四边形ACDF是平行四边形.
(2)BC=2CD.理由:
∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=45°,
∵∠CDE=90°,
∴△CDE是等腰直角三角形,
∴CD=DE,
∵E是AD的中点,∴AD=2CD,
∵AD=BC,∴BC=2CD.
2.解:(1)证明:∵E是AD的中点,∴AE=DE,
又∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE,∠EAF=∠EDB,
∴△AEF≌△DEB.
(2)四边形ADCF是矩形.
证明:∵AF∥CD,AF=CD,
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵△AEF≌△DEB,∴AF=BD,
∴BD=CD,即AD是△ABC的中线,
又∵AB=AC,∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°.
∴四边形ADCF是矩形.
3.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠DFO=∠BEO.
又∵∠DOF=∠BOE,OD=OB,
∴△DOF≌△BOE(AAS),
∴DF=BE,
又∵DF∥BE,
∴四边形DEBF是平行四边形.
(2)∵DE=DF,四边形BEDF是平行四边形,
∴四边形BEDF是菱形,
∴DE=BE,EF⊥BD,OE=OF,
设AE=x,则DE=BE=8-x,
在Rt△ADE中,根据勾股定理,
得AE2+AD2=DE2,
∴x2+62=(8-x)2,
解得:x=74,
∴DE=8-74=254.
在Rt△ABD中,根据勾股定理,
得AB2+AD2=BD2,
∴BD=62+82=10,
∴OD=12BD=5,
在Rt△DOE中,根据勾股定理,得
DE2-OD2=OE2,
∴OE=(254) 2-52=154,
∴EF=2OE=152.
4.解:(1)证明:∵E为AD的中点,AD=2BC,
∴BC=ED,
∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,
∵∠ABD=90°,AE=DE,
∴BE=ED,∴四边形BCDE是菱形.
(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,
∴BA=BC=1,
∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=12,
∴∠ADB=30°,∴∠DAC=12∠BAD=30°,∠ADC=2∠ADB=60°.
∴∠ACD=90°.
在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=3.
5.解:(1)证明:在矩形EFGH中,EH=FG,EH∥FG,∴∠GFH=∠EHF.
∵∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF,∴∠BFG=∠DHE,
在菱形ABCD中,AD∥BC,
∴∠GBF=∠EDH,∴△BGF≌△DEH(AAS),
∴BG=DE.
(2)连接EG,
在菱形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,
∵E为AD中点,
∴AE=ED,
∵BG=DE,∴AE=BG,
又∵AE∥BG,
∴四边形ABGE是平行四边形,
∴AB=EG,
在矩形EFGH中,EG=FH=2,
∴AB=2,
∴菱形ABCD的周长为8.
6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD.
∴∠ABE=∠ADF=135°.
又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).
(2)四边形AECF是菱形.
理由:连接AC交BD于点O,图略.
则AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
又∵BE=DF,∴OE=OF,
∴四边形AECF是菱形.
7.解:(1)证明:正方形ABCD中,AC=BD,OA=12AC,OB=OD=12BD,∴OA=OB=OD,
∵AC⊥BD,∴∠AOB=∠AOD=90°,
∴∠OAD=∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN,
又∵∠EOF=90°,∴∠AOM=∠BON,
∴△AOM≌△BON,∴OM=ON.
(2)如图,过点O作OP⊥AB于P,
∴∠OPA=90°,∠OPA=∠MAE,
∵E为OM中点,∴OE=ME,
又∵∠AEM=∠PEO,∴△AEM≌△PEO,
∴AE=EP,
∵OA=OB,OP⊥AB,∴AP=BP=12AB=2,
∴EP=1.
Rt△OPB中,∠OBP=45°,∴OP=PB=2,
Rt△OEP中,OE=OP2+PE2=5,
∴OM=2OE=25,
Rt△OMN中,OM=ON,∴MN=2OM=210.
8.[解析]过点H作HN⊥BM于N,利用正方形的性质及轴对称的性质,证明△ABG≌△AFG,可推出AG是∠BAF的平分线,GA是∠BGF的平分线;证明△ABG≌△GNH,推出HN=CN,得到∠DCH=∠NCH,推出CH是∠DCM的平分线;再证∠HGN=∠EGH,可知GH是∠EGM的平分线.
解:过点H作HN⊥BM于N,
则∠HNC=90°,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=AB=BC,∠D=∠DAB=∠B=∠DCB=∠DCM=90°.
①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE,
∴△ADE≌△AFE,
∴∠D=∠AFE=∠AFG=90°,AD=AF,∠DAE=∠FAE,∴AF=AB.
又∵AG=AG,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),
∴∠BAG=∠FAG,∠AGB=∠AGF,
∴AG是∠BAF的平分线,GA是∠BGF的平分线.
②由①知,∠DAE=∠FAE,∠BAG=∠FAG,
又∵∠BAD=90°,
∴∠GAF+∠EAF=12×90°=45°,即∠GAH=45°.
∵GH⊥AG,
∴∠GHA=90°-∠GAH=45°,
∴△AGH为等腰直角三角形,∴AG=GH.
∵∠AGB+∠BAG=90°,∠AGB+∠HGN=90°,
∴∠BAG=∠NGH.
又∵∠B=∠HNG=90°,AG=GH,
∴△ABG≌△GNH(AAS),
∴BG=NH,AB=GN,∴BC=GN.
∴BC-CG=GN-CG,
∴BG=CN,∴CN=HN.
∵∠HNC=90°,
∴∠NCH=∠NHC=12×90°=45°,
∴∠DCH=∠DCM-∠NCH=45°,
∴∠DCH=∠NCH,
∴CH是∠DCM的平分线.
③∵∠AGB+∠HGN=90°,∠AGF+∠EGH=90°,
由①知,∠AGB=∠AGF,
∴∠HGN=∠EGH,
∴GH是∠EGM的平分线.
综上所述,AG是∠BAF的平分线,GA是∠BGF的平分线,CH是∠DCM的平分线,GH是∠EGM的平分线.