2021年中考数学模拟测试卷（二）

这是一份2021年中考数学模拟测试卷（二），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.下列计算正确的是( )
A.a6÷a2=a3B.a2+a3=a5
C.(a2)3=a6D.(a+b)2=a2+b2
2.(2020天津中考)据2020年6月24日《天津日报》报道,6月23日下午,第四届世界智能大会在天津开幕.本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现,40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58 600 000人.将58 600 000用科学记数法表示应为( )
×108×107
C.58.6×106D.586×105
3.以下说法正确的有( )
①正八边形的每个内角都是135°;②27与13是同类二次根式;③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°;④反比例函数y=-2x,当x<0时,y随x的增大而增大.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.不等式组2x+12>12x-4,32x-12≤x的解集在数轴上表示正确的是( )
5.在下面四个字中,不是轴对称的是( )
6.如图,若☉O的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,且☉O的半径为2,则CD的长为( )
A.23B.43
C.2D.4
7.一枚骰子是6个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6的小立方体,它任意两对面上所写的两个数字之和为7.将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为6摆成一个几何体,这个几何体的三视图如图所示.已知图中所标注的是部分面上的数字,则“※”所代表的数是( )
A.2B.4C.5D.6
8.如图,菱形ABCD的周长为8 cm,高AE的长为3 cm,则对角线AC与BD的长度之比为( )
A.1∶2B.1∶3C.1∶2D.1∶3
9.为了绿化校园,30名学生共种78棵树苗.其中男生每人种3棵,女生每人种2棵,设男生有x人,女生有y人,根据题意,所列方程组正确的是( )
A.x+y=78,3x+2y=30B.x+y=78,2x+3y=30
C.x+y=30,2x+3y=78D.x+y=30,3x+2y=78
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x1,0)与(x2,0),其中x1A.b2-4ac≥0B.x1+x2>m+n
C.m二、填空题(每小题3分,共21分)
11.如图,将直角三角板60°角的顶点放在圆心O处,斜边和一直角边分别与☉O相交于A,B两点,P是优弧AB上任意一点(与A,B不重合),则∠APB= .
12.在一次数学测验中,全班48名学生的平均分为72分,如果不统计第一小组6人的成绩,其余人的平均分是71分,那么第一小组6人的平均分数是 .
13.如图,已知正方形ABCD的边长为3,E,F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM.若AE=1,则FM的长为 .
14.如图,把一个半径为12 cm的圆形硬纸片等分成三个扇形,用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠),则圆锥底面半径是 cm.
15.将抛物线C1:y=-x2-2x绕着点M(1,0)旋转180°后,所得到的新抛物线C2的解析式是 .
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC边上的中线,sin∠CAM=35,则tan B的值为 .
17.如图,已知点O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,则点P的坐标为 .
三、解答题(69分)
18.(6分)关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.
19.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A12,2,B(3,n)在反比例函数y=mx(m为常数)的图象上,连接AO并延长与图象的另一支交于点C,过点A的直线l与x轴的交点为点D(1,0),过点C作CE∥x轴交直线l于点E.
(1)求m的值,并求直线l对应的函数表达式;
(2)求点E的坐标;
(3)过点B作射线BN∥x轴,与AE交于点M(补全图形),求证:tan∠ABN=tan∠CBN.
20.(9分)某学校为了解本校2 400名学生对足球赛的关注程度,以利于做好教育和引导工作,随机抽取了本校内的六、七、八、九四个年级部分学生进行调查,按“各年级被抽取人数”与“关注程度”,分别绘制了条形统计图(图甲-1)、扇形统计图(图甲-2)和折线统计图(图乙).
各年级被抽取人数统计图
图甲-1
图甲-2
被抽取学生足球关注度人数统计图
图乙
(1)本次共随机抽查了 名学生,根据信息补全图甲-1中的条形统计图,图甲-2中八年级所对应扇形的圆心角的度数为 ;
(2)如果把“特别关注”“一般关注”“偶尔关注”都看成关注,那么全校关注足球赛的学生大约有多少名?
(3)①根据上面的统计结果,谈谈你对该校学生对足球关注的现状的看法及建议;
②如果要了解学校中小学生对校园足球的关注情况,你认为应该如何进行抽样?
21.(10分)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
(1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来.
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?
22.(10分)如图,图甲是一个水桶模型示意图,水桶提手结构的平面图是轴对称图形.当点O到BC(或DE)的距离大于或等于☉O的半径时(☉O是桶口所在的圆,半径为OA),提手才能从图甲的位置转到图乙的位置,这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手(如图丙,A-B-C-D-E-F,C-D是CD,其余是线段),O是AF的中点,桶口直径AF=34 cm,AB=FE=5 cm,∠ABC=∠FED=149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.
(参考数据:314≈17.72,tan 73.6°≈3.40,sin 75.4°≈0.97)
23.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=12∠CAB.
(1)求证:直线BF是☉O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=55,求BC和BF的长.
24.(13分)在平面直角坐标系xOy中,正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3,…,An和点C1,C2,C3,…,Cn分别落在直线y=x+1和x轴上.抛物线L1过点A1,B1,且顶点在直线y=x+1上,抛物线L2过点A2,B2,且顶点在直线y=x+1上,……按此规律,抛物线Ln过点An,Bn,且顶点也在直线y=x+1上,其中抛物线L2交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1,抛物线L3交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2,……抛物线Ln+1交正方形AnBnCnCn-1的边AnBn于点Dn(其中n≥1,且n为正整数).
(1)直接写出下列点的坐标:B1 ,B2,B3 ;
(2)写出抛物线L2,L3的解析式,并写出其中一个解析式的求解过程,再猜想抛物线Ln的顶点坐标;
(3)①设A1D1=k1·D1B1,A2D2=k2·D2B2,试判断k1与k2的数量关系并说明理由;
②点D1,D2,…,Dn是否在一条直线上?若是,直接写出这条直线与直线y=x+1的交点坐标;若不是,请说明理由.
参考答案
(时间:120分钟 总分:120分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.下列计算正确的是( )
A.a6÷a2=a3B.a2+a3=a5
C.(a2)3=a6D.(a+b)2=a2+b2
答案:C
2.(2020天津中考)据2020年6月24日《天津日报》报道,6月23日下午,第四届世界智能大会在天津开幕.本届大会采取“云上”办会的全新模式呈现,40家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主题峰会的总人数最高约为58 600 000人.将58 600 000用科学记数法表示应为( )
×108×107
C.58.6×106D.586×105
答案:B
3.以下说法正确的有( )
①正八边形的每个内角都是135°;②27与13是同类二次根式;③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°;④反比例函数y=-2x,当x<0时,y随x的增大而增大.
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案:C
4.不等式组2x+12>12x-4,32x-12≤x的解集在数轴上表示正确的是( )
答案:A
5.在下面四个字中,不是轴对称的是( )
答案:B
6.如图,若☉O的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,且☉O的半径为2,则CD的长为( )
A.23B.43
C.2D.4
答案:A
7.一枚骰子是6个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6的小立方体,它任意两对面上所写的两个数字之和为7.将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为6摆成一个几何体,这个几何体的三视图如图所示.已知图中所标注的是部分面上的数字,则“※”所代表的数是( )
A.2B.4C.5D.6
答案:B
8.如图,菱形ABCD的周长为8 cm,高AE的长为3 cm,则对角线AC与BD的长度之比为( )
A.1∶2B.1∶3C.1∶2D.1∶3
答案:D
9.为了绿化校园,30名学生共种78棵树苗.其中男生每人种3棵,女生每人种2棵,设男生有x人,女生有y人,根据题意,所列方程组正确的是( )
A.x+y=78,3x+2y=30B.x+y=78,2x+3y=30
C.x+y=30,2x+3y=78D.x+y=30,3x+2y=78
答案:D
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x1,0)与(x2,0),其中x1A.b2-4ac≥0B.x1+x2>m+n
C.m答案:D
二、填空题(每小题3分,共21分)
11.如图,将直角三角板60°角的顶点放在圆心O处,斜边和一直角边分别与☉O相交于A,B两点,P是优弧AB上任意一点(与A,B不重合),则∠APB= .
答案:30°
12.在一次数学测验中,全班48名学生的平均分为72分,如果不统计第一小组6人的成绩,其余人的平均分是71分,那么第一小组6人的平均分数是 .
答案:79分
13.如图,已知正方形ABCD的边长为3,E,F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM.若AE=1,则FM的长为 .
答案:52
14.如图,把一个半径为12 cm的圆形硬纸片等分成三个扇形,用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠),则圆锥底面半径是 cm.
答案:4
15.将抛物线C1:y=-x2-2x绕着点M(1,0)旋转180°后,所得到的新抛物线C2的解析式是 .
答案:y=x2-6x+8
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC边上的中线,sin∠CAM=35,则tan B的值为 .
答案:23
17.如图,已知点O为坐标原点,四边形OABC为矩形,A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,则点P的坐标为 .
答案:(2,4)或(3,4)或(8,4)
三、解答题(69分)
18.(6分)关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.
解:(1)∵原方程有两个不相等实数根,
∴Δ=(2m+1)2-4(m2-1)=4m+5>0,
解得m>-54.
(2)当m=1时,原方程为x2+3x=0,即x(x+3)=0,
∴x1=0,x2=-3.(m取其他符合条件的值也可以)
19.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A12,2,B(3,n)在反比例函数y=mx(m为常数)的图象上,连接AO并延长与图象的另一支交于点C,过点A的直线l与x轴的交点为点D(1,0),过点C作CE∥x轴交直线l于点E.
(1)求m的值,并求直线l对应的函数表达式;
(2)求点E的坐标;
(3)过点B作射线BN∥x轴,与AE交于点M(补全图形),求证:tan∠ABN=tan∠CBN.
(1)解:因为点A12,2在反比例函数y=mx(m为常数)的图象上,所以m=12×2=1.
所以反比例函数y=mx(m为常数)对应的函数表达式是y=1x.
设直线l对应的函数表达式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0).
因为直线l经过点A12,2,D(1,0),
所以12k+b=2,k+b=0,解得k=-4,b=4.
所以直线l对应的函数表达式为y=-4x+4.
(2)解:由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为-12,-2.
因为CE∥x轴并交直线l于点E,所以yE=yC.
所以点E的坐标为32,-2.
(3)证明:如图,作AF⊥BN于点G,作CH⊥BN于点H,
因为点B(3,n)在反比例函数图象上,所以n=13.
所以B3,13,G12,13,H-12,13.
在Rt△ABG中,tan∠ABH=AGBG=2-133-12=23,
在Rt△BCH中,tan∠CBH=CHBH=13+23+12=23,
所以tan∠ABN=tan∠CBN.
20.(9分)某学校为了解本校2 400名学生对足球赛的关注程度,以利于做好教育和引导工作,随机抽取了本校内的六、七、八、九四个年级部分学生进行调查,按“各年级被抽取人数”与“关注程度”,分别绘制了条形统计图(图甲-1)、扇形统计图(图甲-2)和折线统计图(图乙).
各年级被抽取人数统计图
图甲-1
图甲-2
被抽取学生足球关注度人数统计图
图乙
(1)本次共随机抽查了 名学生,根据信息补全图甲-1中的条形统计图,图甲-2中八年级所对应扇形的圆心角的度数为 ;
(2)如果把“特别关注”“一般关注”“偶尔关注”都看成关注,那么全校关注足球赛的学生大约有多少名?
(3)①根据上面的统计结果,谈谈你对该校学生对足球关注的现状的看法及建议;
②如果要了解学校中小学生对校园足球的关注情况,你认为应该如何进行抽样?
解:(1)200,补全的图甲-1如图,144°.
(2)方法一:根据题意得:不关注的学生所占的百分比为90200×100%=45%;
所以全校关注足球赛的学生大约有2 400×(1-45%)=1 320(人).
方法二:根据题意得:关注的学生所占的百分比为20+60+30200×100%=55%,
所以全校关注足球赛的学生大约有2 400×55%=1 320(人).
(3)①根据以上所求可得出:只有55%的学生关注足球比赛,有45%的学生不关注,可以看出仍有部分学生忽略了对足球的关注,希望学校做好教育与引导工作,加大对足球进校园的宣传力度,让校园足球得到更多的关注和支持,推动校园足球的发展.
②考虑到样本具有的随机性、代表性、广泛性,如果要了解中小学生对校园足球的关注的情况,抽样时应针对不同的年级、不同性别、不同年龄段的学生进行随机抽样.(只要给出合理看法与建议,即可得分)
21.(10分)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
(1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来.
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?
解:(1)设组建中型图书角x个,
则组建小型图书角(30-x)个.
由题意,得80x+30(30-x)≤1 900,50x+60(30-x)≤1 620,
解这个不等式组,得18≤x≤20.
由于x只能取整数,所以x的取值是18,19,20.
当x=18时,30-x=12;
当x=19时,30-x=11;
当x=20时,30-x=10.
故有三种组建方案.方案一:中型图书角18个,小型图书角12个;方案二:中型图书角19个,小型图书角11个;方案三:中型图书角20个,小型图书角10个.
(2)方案一的费用是860×18+570×12=22 320(元);方案二的费用是860×19+570×11=22 610(元);方案三的费用是860×20+570×10=22 900(元).
故方案一的费用最低,最低费用是22 320元.
22.(10分)如图,图甲是一个水桶模型示意图,水桶提手结构的平面图是轴对称图形.当点O到BC(或DE)的距离大于或等于☉O的半径时(☉O是桶口所在的圆,半径为OA),提手才能从图甲的位置转到图乙的位置,这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手(如图丙,A-B-C-D-E-F,C-D是CD,其余是线段),O是AF的中点,桶口直径AF=34 cm,AB=FE=5 cm,∠ABC=∠FED=149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.
(参考数据:314≈17.72,tan 73.6°≈3.40,sin 75.4°≈0.97)
解:连接OB,过点O作OG⊥BC于点G,如图.
在Rt△ABO中,AB=5,AO=17,
∴tan∠ABO=AOAB=175=3.4.
∴∠ABO≈73.6°.
∴∠GBO=∠ABC-∠ABO≈149°-73.6°=75.4°.
又OB=52+172=314≈17.72,
∴在Rt△OBG中,OG=OB×sin∠GBO≈17.72×0.97≈17.19>17.
故水桶提手合格.
23.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=12∠CAB.
(1)求证:直线BF是☉O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=55,求BC和BF的长.
(1)证明:如图,连接AE.
∵AB是☉O的直径,
∴∠AEB=90°.
∴∠1+∠2=90°.
∵AB=AC,
∴∠1=12∠CAB.
∵∠CBF=12∠CAB,
∴∠1=∠CBF.
∴∠CBF+∠2=90°,即∠ABF=90°.
∵AB是☉O的直径,
∴直线BF是☉O的切线.
(2)解:如上图,过点C作CG⊥AB于点G,
∵sin∠CBF=55,∠1=∠CBF,
∴sin∠1=55.
∵∠AEB=90°,AB=5,
∴BE=AB·sin∠1=5.
∵AB=AC,∠AEB=90°,
∴BC=2BE=25.
在Rt△ABE中,
由勾股定理得AE=AB2-BE2=25,
∴sin∠2=255,cs∠2=55.
在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,
∴AG=3.
∵GC∥BF,
∴△AGC∽△ABF.
∴GCBF=AGAB.
∴BF=GC·ABAG=203.
故BC和BF的长分别为25,203.
24.(13分)在平面直角坐标系xOy中,正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3,…,An和点C1,C2,C3,…,Cn分别落在直线y=x+1和x轴上.抛物线L1过点A1,B1,且顶点在直线y=x+1上,抛物线L2过点A2,B2,且顶点在直线y=x+1上,……按此规律,抛物线Ln过点An,Bn,且顶点也在直线y=x+1上,其中抛物线L2交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1,抛物线L3交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2,……抛物线Ln+1交正方形AnBnCnCn-1的边AnBn于点Dn(其中n≥1,且n为正整数).
(1)直接写出下列点的坐标:B1 ,B2,B3 ;
(2)写出抛物线L2,L3的解析式,并写出其中一个解析式的求解过程,再猜想抛物线Ln的顶点坐标;
(3)①设A1D1=k1·D1B1,A2D2=k2·D2B2,试判断k1与k2的数量关系并说明理由;
②点D1,D2,…,Dn是否在一条直线上?若是,直接写出这条直线与直线y=x+1的交点坐标;若不是,请说明理由.
解:(1)B1(1,1),B2(3,2),B3(7,4).
(2)抛物线L2,L3的解析式分别为y=-(x-2)2+3,y=-12(x-5)2+6.
抛物线L2的解析式的求解过程:
对于直线y=x+1,设x=0,可得y=1,即A1(0,1).
因为A1B1C1O是正方形,所以C1(1,0).
又点A2在直线y=x+1上,可得点A2(1,2).
又点B2的坐标为(3,2),所以抛物线L2的对称轴为直线x=2.
所以抛物线L2的顶点坐标为(2,3).
设抛物线L2的解析式为y=a(x-2)2+3(a≠0),
因为L2过点B2(3,2),
所以当x=3时,y=2,即2=a×(3-2)2+3,解得a=-1.
所以抛物线L2的解析式为y=-(x-2)2+3.
(或抛物线L3的解析式的求解过程:
因为B3的坐标为(7,4),同上可求得点A3的坐标为(3,4),
所以抛物线L3的对称轴为直线x=5.
所以抛物线L3的顶点坐标为(5,6).
设抛物线L3的解析式为y=a(x-5)2+6(a≠0),
因为L3过点B3(7,4),
所以当x=7时,y=4,即4=a×(7-5)2+6,解得a=-12.
所以抛物线L3的解析式为y=-12(x-5)2+6.)
猜想抛物线Ln的顶点坐标为(3×2n-2-1,3×2n-2);
猜想过程:方法1:可由抛物线L1,L2,L3…的解析式:
y=-2x-122+32,y=-(x-2)2+3,y=-12(x-5)2+6,……归纳总结得出.
方法2:可由正方形AnBnCnCn-1顶点An,Bn的坐标规律An(2n-1-1,2n-1)与Bn(2n-1,2n-1),
再利用对称性可得抛物线Ln的对称轴为直线x=2n-1+2n-1-12,即x=2n-2(4+2)-22=3·2n-2-1,
又顶点在直线y=x+1上,所以可得抛物线Ln的顶点坐标为(3×2n-2-1,3×2n-2).
(3)①k1与k2的数量关系为k1=k2.
理由如下:
由(2)可知L2的解析式为y=-(x-2)2+3,当y=1时,1=-(x-2)2+3,解得x1=2-2,x2=2+2.
因为0所以A1D1=2-2=2(2-1).
所以D1B1=1-(2-2)=2-1.
所以A1D1=2·D1B1,即k1=2.
同理可求得A2D2=4-22=22(2-1),
D2B2=2-(4-22)=22-2=2(2-1),
A2D2=2·D2B2,即k2=2,所以k1=k2.
②点D1,D2,…,Dn是在一条直线上.
这条直线与直线y=x+1的交点坐标为(-1,0).