2021年中考数学模拟测试卷（三）

这是一份2021年中考数学模拟测试卷（三），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学模拟测试卷（三）
(时间:120分钟　总分:120分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.方程x2+x-12=0的两个根为(　　)
A.x1=-2,x2=6 B.x1=-6,x2=2
C.x1=-3,x2=4 D.x1=-4,x2=3
2.下列等式一定成立的是(　　)
A.a2÷a3=a5
B.(a-b)2=a2-b2
C.(2ab2)3=6a3b6
D.(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab
3.若不等式组x+9<5x+1,x>m+1的解集是x>2,则m的取值范围是(　　)
A.m<1 B.m≥1 C.m≤1 D.m>1
4.如图,将一张正六边形纸片的阴影部分剪下,拼成一个四边形,若拼成的四边形的面积为2a,则纸片的剩余部分的面积为(　　)

A.5a B.4a C.3a D.2a
5.将两个大小完全相同的杯子(如图甲)叠放在一起(如图乙),则图乙中实物的俯视图是(　　)


6.学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛.各组的平时成绩的平均数x(单位:分)及方差s2如下表所示:

甲
乙
丙
丁
x
7
8
8
7
s2
1
1.2
1
1.8

如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛,那么应选的小组是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少共需要(　　)
A.12 120元 B.12 140元 C.12 160元 D.12 200元
8.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左或向右转.若这三种可能性大小相同,则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为(　　)
A.13 B.23 C.19 D.12
9.函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是(　　)

10.以下四个命题:①用换元法解分式方程-x2+1x+2xx2+1=1时,如果设x2+1x=y,那么可以将原式方程化为关于y的整式方程y2+y-2=0;②如果半径为r的圆的内接正五边形边长为a,那么a=2rcos 54°;③有一个圆锥,与底面圆直径是3且体积为3π2的圆柱等高,如果这个圆锥的侧面展开图是半圆,那么它的母线长为43;④二次函数y=ax2-2ax+1,自变量的两个值x1,x2对应的函数值分别为y1,y2,若|x1-1|>|x2-1|,则a(y1-y2)>0,其中正确的命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分,共21分)
11.当实数x的取值使得x-2有意义时,函数y=4x+1中y的取值范围是　　　　　. 
12.在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=22,AB=3,则BD=　　　　　. 

13.(2020海南中考)如图,在△ABC中,BC=9,AC=4,分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC边于点D,连接AD,则△ACD的周长为　　　　　. 

14.如图,AB为☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠AOD=30°,则∠BCD的度数是　　　　　. 

15.如图,甲、乙两盏路灯底部间的距离是30 m,一天晚上,当小华走到距路灯乙底部5 m处时,发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为1.5 m,则路灯甲的高(不带灯罩)为　　　　　m. 

16.如图,∠ACB=90°,D为AB的中点,连接DC并延长到点E,使CE=14CD,过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F.若BF=10,则AB的长为　　　　　. 

17.如图,在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点B顺时针旋转α度,得到△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC,BC于点D,F,下列结论:①∠CDF=α,②A1E=CF,③DF=FC,④AD=CE,⑤A1F=CE.
其中正确的是　　　　　.(写出正确结论的序号) 

三、解答题(69分)
18.(6分)先化简,再求值:n2n-m-m-n÷m2,其中m-n=2.





19.(8分)如图,点P的坐标为2,32,过点P作x轴的平行线交y轴于点A,交双曲线y=kx(x>0)于点N,作PM⊥AN交双曲线y=kx(x>0)于点M,连接AM.已知PN=4.

(1)求k的值;
(2)求△APM的面积.





















20.(8分)为了了解学生关注热点新闻的情况,“两会”期间,小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查,调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出).根据上述信息,解答下列各题:
(1)该班级女生人数是　　　　　,女生收看“两会”新闻次数的中位数是　　　　　; 
(2)对于某个群体,我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%,试求该班级男生的人数;
(3)为进一步分析该班级男生、女生收看“两会”新闻次数的特点,小明给出了男生的部分统计量(如下表).
统计量
平均数
中位数
众数
方差
…
该班级男生
3
3
4
2
…

比较该班级男生、女生收看“两会”新闻次数的波动大小.











21.(10分)为创建“国家卫生城市”,进一步优化市中心城区的环境,某市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施进行更新改造,根据市政的建设需要,需在60天内完成此工程.现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程.经调查:乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天,甲、乙两队合作完成此项工程需要30天,甲队每天的工程费用是2 500元,乙队每天的工程费用是2 000元.
(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天?
(2)请你设计一种符合要求的施工方案,并求出所需的工程费用.

















22.(12分)已知AB是☉O的直径,点P在弧AB上(不含点A,B),把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在☉O上.
(1)当点P在AB上方而点C在AB下方时(如图①),判断PO与BC的位置关系,并证明你的判断;
(2)当点P,C都在AB上方时(如图②),过点C作CD⊥直线AP于点D,且PC=2PD,证明:CD是☉O的切线.

图①

图②




































23.(12分)已知△ABC,分别以AB,AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,G,F分别是DC与BE的中点.
(1)探索发现:
如图①,若∠DAB=60°,则∠AFG=　　　　　;如图②,若∠DAB=90°,则∠AFG=　　　　　. 
(2)探究证明:如图③,若∠DAB=α,试探究∠AFG与α的数量关系?并给予证明.
(3)动手实践:
如果∠ACB为锐角,AB≠AC,∠BAC≠90°,点M在线段BC上运动,连接AM,以AM为一边,以点A为直角顶点,且在AM的右侧作等腰直角△AMN,连接NC.试探究:若NC⊥BC(点C,M重合除外),则∠ACB等于多少度?请同学们自己动手画出相应图形.(画图不写作法)



































24.(13分)如图,已知抛物线C0:y=x2,顶点记作A0.首先我们将抛物线C0关于直线y=1对称翻折过去得到抛物线C1称为第一次操作,再将抛物线C1关于直线y=2对称翻折过去得到抛物线C2称为第二次操作,……将抛物线Cn-1关于直线y=2n-1对称翻折过去得到抛物线Cn(顶点记作An)称为第n次操作(n=1,2,3…).设抛物线C0与抛物线C1交于两点B0与B1,顺次连接A0,B0,A1,B1四个点得到四边形A0B0A1B1,抛物线C2与抛物线C3交于两点B2与B3,顺次连接A2,B2,A3,B3四个点得到四边形A2B2A3B3,……抛物线Ck-1与抛物线Ck交于两点Bk-1与Bk,顺次连接Ak-1,Bk-1,Ak,Bk四个点得到四边形Ak-1Bk-1AkBk(k=1,3,5…).

(1)请分别直接写出抛物线Cn(n=1,2,3,4)的解析式.
(2)一系列四边形Ak-1Bk-1AkBk(k=1,3,5…)为哪种特殊的四边形(说明理由)?它们都相似吗?如果全都相似,请证明之;如果不全都相似,请举出一对不相似的反例.
(3)试归纳出抛物线Cn的解析式,无需证明.并利用你归纳出来的Cn的解析式求四边形Ak-1Bk-1AkBk(k=1,3,5…)的面积(用含k的式子表示).

参考答案
(时间:120分钟　总分:120分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题意的)
1.方程x2+x-12=0的两个根为(　　)
A.x1=-2,x2=6 B.x1=-6,x2=2
C.x1=-3,x2=4 D.x1=-4,x2=3
答案:D
2.下列等式一定成立的是(　　)
A.a2÷a3=a5
B.(a-b)2=a2-b2
C.(2ab2)3=6a3b6
D.(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab
答案:D
3.若不等式组x+9<5x+1,x>m+1的解集是x>2,则m的取值范围是(　　)
A.m<1 B.m≥1 C.m≤1 D.m>1
答案:C
4.如图,将一张正六边形纸片的阴影部分剪下,拼成一个四边形,若拼成的四边形的面积为2a,则纸片的剩余部分的面积为(　　)

A.5a B.4a C.3a D.2a
答案:B
5.将两个大小完全相同的杯子(如图甲)叠放在一起(如图乙),则图乙中实物的俯视图是(　　)


答案:C
6.学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛.各组的平时成绩的平均数x(单位:分)及方差s2如下表所示:

甲
乙
丙
丁
x
7
8
8
7
s2
1
1.2
1
1.8

如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛,那么应选的小组是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案:C
7.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少共需要(　　)
A.12 120元 B.12 140元 C.12 160元 D.12 200元
答案:C
8.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左或向右转.若这三种可能性大小相同,则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为(　　)
A.13 B.23 C.19 D.12
答案:C
9.函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是(　　)

答案:C
10.以下四个命题:①用换元法解分式方程-x2+1x+2xx2+1=1时,如果设x2+1x=y,那么可以将原式方程化为关于y的整式方程y2+y-2=0;②如果半径为r的圆的内接正五边形边长为a,那么a=2rcos 54°;③有一个圆锥,与底面圆直径是3且体积为3π2的圆柱等高,如果这个圆锥的侧面展开图是半圆,那么它的母线长为43;④二次函数y=ax2-2ax+1,自变量的两个值x1,x2对应的函数值分别为y1,y2,若|x1-1|>|x2-1|,则a(y1-y2)>0,其中正确的命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:D
二、填空题(每小题3分,共21分)
11.当实数x的取值使得x-2有意义时,函数y=4x+1中y的取值范围是　　　　　. 
答案:y≥9
12.在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=22,AB=3,则BD=　　　　　. 

答案:83
13.(2020海南中考)如图,在△ABC中,BC=9,AC=4,分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC边于点D,连接AD,则△ACD的周长为　　　　　. 

答案:13
14.如图,AB为☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠AOD=30°,则∠BCD的度数是　　　　　. 

答案:105°
15.如图,甲、乙两盏路灯底部间的距离是30 m,一天晚上,当小华走到距路灯乙底部5 m处时,发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为1.5 m,则路灯甲的高(不带灯罩)为　　　　　m. 

答案:9
16.如图,∠ACB=90°,D为AB的中点,连接DC并延长到点E,使CE=14CD,过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F.若BF=10,则AB的长为　　　　　. 

答案:8
17.如图,在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点B顺时针旋转α度,得到△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC,BC于点D,F,下列结论:①∠CDF=α,②A1E=CF,③DF=FC,④AD=CE,⑤A1F=CE.
其中正确的是　　　　　.(写出正确结论的序号) 

答案:①②⑤
三、解答题(69分)
18.(6分)先化简,再求值:n2n-m-m-n÷m2,其中m-n=2.
解:原式=n2n-m-(m+n)·1m2=n2-n2+m2n-m·1m2=m2n-m·1m2=1n-m.
∵m-n=2,∴n-m=-2.
原式=1n-m=1-2=-22.
19.(8分)如图,点P的坐标为2,32,过点P作x轴的平行线交y轴于点A,交双曲线y=kx(x>0)于点N,作PM⊥AN交双曲线y=kx(x>0)于点M,连接AM.已知PN=4.

(1)求k的值;
(2)求△APM的面积.
解:(1)∵P2,32,PN=4,∴N6,32.
把N6,32代入y=kx,得k=9.
(2)∵PM⊥AN,P2,32,∴M(2,y),
∵k=9,点M在双曲线y=kx上,把M(2,y)代入y=9x,得y=92.
∴M2,92.
又P2,32,∴MP=3,AP=2.
∴S△APM=12×2×3=3.
20.(8分)为了了解学生关注热点新闻的情况,“两会”期间,小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查,调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出).根据上述信息,解答下列各题:
(1)该班级女生人数是　　　　　,女生收看“两会”新闻次数的中位数是　　　　　; 
(2)对于某个群体,我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%,试求该班级男生的人数;
(3)为进一步分析该班级男生、女生收看“两会”新闻次数的特点,小明给出了男生的部分统计量(如下表).
统计量
平均数
中位数
众数
方差
…
该班级男生
3
3
4
2
…

比较该班级男生、女生收看“两会”新闻次数的波动大小.

解:(1)20　3
(2)由题意得该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为1320×100%=65%,
所以男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%.
设该班男生有x人,则x-(1+3+6)x=60%,解得x=25.
故该班男生有25人.
(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为1×2+2×5+3×6+4×5+5×220=3,
女生收看“两会”新闻次数的方差为2×(3-1)2+5×(3-2)2+6×(3-3)2+5×(3-4)2+2×(3-5)220=1310,
因为2>1310,所以男生比女生的波动幅度大.
21.(10分)为创建“国家卫生城市”,进一步优化市中心城区的环境,某市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施进行更新改造,根据市政的建设需要,需在60天内完成此工程.现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程.经调查:乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天,甲、乙两队合作完成此项工程需要30天,甲队每天的工程费用是2 500元,乙队每天的工程费用是2 000元.
(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天?
(2)请你设计一种符合要求的施工方案,并求出所需的工程费用.
解:(1)设甲工程队单独完成该工程需x天,
则乙工程队单独完成该工程需(x+25)天.
根据题意得30x+30x+25=1,即x2-35x-750=0.
解得x1=50,x2=-15.
经检验,x1=50,x2=-15都是原方程的解.
但x2=-15不符合题意,应舍去.
所以x=50.
当x=50时,x+25=75.
故甲工程队单独完成该工程需50天,则乙工程队单独完成该工程需75天.
(2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可.有如下两种方案可供选择.
方案一:由甲工程队单独完成.
所需费用为2 500×50=125 000(元).
方案二:甲、乙两队合作完成.
所需费用为(2 500+2 000)×30=135 000(元).
22.(12分)已知AB是☉O的直径,点P在弧AB上(不含点A,B),把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在☉O上.
(1)当点P在AB上方而点C在AB下方时(如图①),判断PO与BC的位置关系,并证明你的判断;
(2)当点P,C都在AB上方时(如图②),过点C作CD⊥直线AP于点D,且PC=2PD,证明:CD是☉O的切线.

图①

图②
(1)解:PO∥BC.理由如下:如图①,
∵△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在☉O上,∴∠1=∠2.
∵OA=OP,∴∠A=∠1.∴∠A=∠2.
∵∠A=∠3,∴∠2=∠3.∴PO∥BC.

图①
(2)证明:如图②,∵CD⊥直线AP,∴∠PDC=90°.

图②
∵PC=2PD,∴∠1=30°.∴∠2=60°.
∵△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在☉O上,∴∠3=∠4.
∴∠3=12×(180°-60°)=60°.
而OP=OC,∴△OPC为等边三角形.
∴∠5=60°.∴∠OCD=∠1+∠5=90°.
∴OC⊥CD,∴CD是☉O的切线.
23.(12分)已知△ABC,分别以AB,AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接DC与BE,G,F分别是DC与BE的中点.
(1)探索发现:
如图①,若∠DAB=60°,则∠AFG=　　　　　;如图②,若∠DAB=90°,则∠AFG=　　　　　. 
(2)探究证明:如图③,若∠DAB=α,试探究∠AFG与α的数量关系?并给予证明.
(3)动手实践:
如果∠ACB为锐角,AB≠AC,∠BAC≠90°,点M在线段BC上运动,连接AM,以AM为一边,以点A为直角顶点,且在AM的右侧作等腰直角△AMN,连接NC.试探究:若NC⊥BC(点C,M重合除外),则∠ACB等于多少度?请同学们自己动手画出相应图形.(画图不写作法)


解:(1)60°　45°
(2)连接AG,

∵∠DAB=∠CAE,∴∠DAC=∠BAE.
又AD=AB,AC=AE,
∴△ADC≌△ABE(SAS).∴∠1=∠2.
又DG=12DC,BF=12BE,于是DG=BF,且AD=AB,∴△ADG≌△ABF(SAS).
∴AG=AF,且∠DAG=∠BAF,于是易得∠GAF=∠DAB=α.
也就是说△AGF是顶角为α的等腰三角形,
∴∠AFG=90°-α2.
(3)简易画图步骤:
①先画等腰直角三角形AMN;
②找个点C,使得CM⊥CN;
③在CM的延长线上任取一点B,连接AB,AC.(作图不计分)

过点A作AC的垂线交BC于点G,
由于∠1和∠2均与∠MAC互余,∴∠1=∠2.
由于∠3和∠4均与∠ACM互余,∴∠3=∠4.
又AM=AN,∴△AMG≌△ANC(AAS).
∴AG=AC.
又AG⊥AC,∴△AGC为等腰直角三角形.
∴∠ACB=∠ACG=45°.
24.(13分)如图,已知抛物线C0:y=x2,顶点记作A0.首先我们将抛物线C0关于直线y=1对称翻折过去得到抛物线C1称为第一次操作,再将抛物线C1关于直线y=2对称翻折过去得到抛物线C2称为第二次操作,……将抛物线Cn-1关于直线y=2n-1对称翻折过去得到抛物线Cn(顶点记作An)称为第n次操作(n=1,2,3…).设抛物线C0与抛物线C1交于两点B0与B1,顺次连接A0,B0,A1,B1四个点得到四边形A0B0A1B1,抛物线C2与抛物线C3交于两点B2与B3,顺次连接A2,B2,A3,B3四个点得到四边形A2B2A3B3,……抛物线Ck-1与抛物线Ck交于两点Bk-1与Bk,顺次连接Ak-1,Bk-1,Ak,Bk四个点得到四边形Ak-1Bk-1AkBk(k=1,3,5…).

(1)请分别直接写出抛物线Cn(n=1,2,3,4)的解析式.
(2)一系列四边形Ak-1Bk-1AkBk(k=1,3,5…)为哪种特殊的四边形(说明理由)?它们都相似吗?如果全都相似,请证明之;如果不全都相似,请举出一对不相似的反例.
(3)试归纳出抛物线Cn的解析式,无需证明.并利用你归纳出来的Cn的解析式求四边形Ak-1Bk-1AkBk(k=1,3,5…)的面积(用含k的式子表示).
解:(1)C1:y=-x2+2;C2:y=x2+2;C3:y=-x2+6;C4:y=x2+10.
(2)根据抛物线的对称性以及翻折的原理不难得出四边形Ak-1Bk-1AkBk(k=1,3,5…)的两条对角线Bk-1Bk与Ak-1Ak互相垂直且平分,故一系列四边形Ak-1Bk-1AkBk均为菱形;它们并不都相似,反例:四边形A0B0A1B1和四边形A2B2A3B3不相似,
理由如下:不难算出A0A1=B0B1=2,于是四边形A0B0A1B1为正方形.
而A2A3=4,B2B3=22,即A2A3≠B2B3,
四边形A2B2A3B3为菱形.故它们不相似.
(3)抛物线Cn的解析式为y=x2+2n+1-23(n为偶数),-x2+2n+1+23(n为奇数).或y=(-1)n·x2+2n+1+(-1)n+1·23
由于四边形Ak-1Bk-1AkBk(k=1,3,5,…)是抛物线Ck-1关于直线y=2k-1翻折得到抛物线Ck后连接交点和顶点所形成的图形,利用上述结论不难得出:Ak-1Ak=2k+1+23-2k-23=2k+43.
Ck-1:y=x2+2k-23,Ck:y=-x2+2k+1+23⇒xBk-1=-2k-1+23,xBk=2k-1+23,
∴Bk-1Bk=xBk-xBk-1=22k-1+23.
∴SAk-1Bk-1AkBk=12·Ak-1Ak·Bk-1Bk=2k+43·2k-1+23=239·(2k-1+2)·2k-1+2.