初中数学八年级上册第12章《全等三角形》单元检测试题 (5)

这是一份初中数学八年级上册第12章《全等三角形》单元检测试题 (5)，共5页。
1．（2018春•沙坪坝区校级期中）如图，要在湖两岸A，B两点之间修建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A、B两点间的距离，于是小明想出来这样一种做法：在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，这时测得DE＝50米，则AB＝ 米．
2．（2018秋•灌云县期中）如图，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，要使△ABC≌△AED，还需添加的条件是 （只需填一个）
3．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC≌△ADE，若∠C＝35°，∠D＝75°，∠DAC＝25°，则∠BAD＝ °．
4．（2018秋•灌云县期中）如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上的一点，PD⊥OB于点D，且PD＝5，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ长度最小值为 ．
5．（2018秋•丹江口市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 ．
6．（2018秋•新罗区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，求△EDF的面积 ．
7．（2018秋•老河口市期中）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，3），点D在第二象限，且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 ．
8．（2018秋•谢家集区期中）如图，AD是△ABC的中线，∠ADB与∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F，M是AD上的一点，且DM＝DB．则给出下列结论：
①S△ABD＝S△ACD；②∠EDF＝90°；③MF＝BE；④BE+CF＞EF．
其中正确的是 （把所有正确的答震的序号都填在横线上）
二．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（2018秋•邵阳县期中）下列图形中是全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2018秋•金坛区期中）如图，△ABC≌△DEF，BE＝1，EC＝4，则BF的长是（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．（2018秋•桐梓县校级期中）已知如图，两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．73°B．57°C．50°D．60°
12．（2018秋•南充期中）如图，已知CD＝CA，∠D＝∠A，添加下列条件中的（ ）仍不能证明△ABC≌△DEC．
A．DE＝ABB．CE＝CBC．∠DEC＝∠BD．∠ECD＝∠BCA
13．（2018秋•南京期中）如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS
14．（2018秋•曲阜市校级期中）如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．35°B．125°C．55°D．135°
15．（2018秋•宁河区期中）有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
16．（2018秋•巴南区期中）如图，直线a，b，c表示交叉的三条公路，现要建一货物中转站，要求它到这三条公路的距离相等，则可供选择的站址最多有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
17．（2018秋•普陀区期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜10B．1＜AD＜5C．2＜AD＜10D．0＜AD＜5
18．（2018秋•鲤城区校级期中）在△ABC中，高AD和BE所在的直线交于点H，且BH＝AC，则∠ABC等于（ ）
A．45°B．120°C．45°或135°D．45°或120°
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．（6分）（2018秋•长春期中）如图，A、B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E、A、C在同一条直线上，则DE长就是A、B之间的距离，请你说明道理．
20．（6分）（2018秋•东西湖区期中）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．
21．（6分）（2017秋•西华县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交相交于点P，求点P到AB的距离．
22．（6分）（2018秋•鼎城区期中）如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，求证：BD＝CE+DE．
23．（7分）（2018秋•岳池县期中）如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
24．（7分）（2018秋•大连期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H
（1）求∠APB度数；
（2）求证：△ABP≌△FBP；
（3）求证：AH+BD＝AB．
25．（8分）（2019春•南海区期中）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°
①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE＝2CMBN．
参考答案与试题解析
一．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（2018春•沙坪坝区校级期中）如图，要在湖两岸A，B两点之间修建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A、B两点间的距离，于是小明想出来这样一种做法：在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，这时测得DE＝50米，则AB＝ 50 米．
【解答】解：根据题意可知∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC≌△EDC（ASA）
∴AB＝DE＝50米．
故答案为：50
【点评】此题考查全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法．
2．（2018秋•灌云县期中）如图，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，要使△ABC≌△AED，还需添加的条件是 AC＝AD或∠C＝∠D或∠B＝∠AED （只需填一个）
【解答】解：在△ABC和△AED中，
∵AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴根据SAS可以添加条件AC＝AD，
根据AAS可以添加条件∠C＝∠D，
根据ASA可以添加条件∠B＝∠AED，
故答案为AC＝AD或∠C＝∠D或∠B＝∠AED．
【点评】本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC≌△ADE，若∠C＝35°，∠D＝75°，∠DAC＝25°，则∠BAD＝ 45 °．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠D＝75°，
∴∠D＝∠B＝75°，
又∵∠C＝35°，
∴∠BAC＝70°，
又∵∠DAC＝25°，
∴∠BAD＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，解题时注意：全等三角形的对应角相等．
4．（2018秋•灌云县期中）如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上的一点，PD⊥OB于点D，且PD＝5，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ长度最小值为 5 ．
【解答】解：作PQ′⊥OA于Q′，
此时线段PQ长度最小，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PQ′⊥OA，
∴PQ′＝PD＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5．（2018秋•丹江口市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 15 ．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积AB×DE10×3＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．（2018秋•新罗区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，求△EDF的面积 11 ．
【解答】解：如图，作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF＝DH，
在Rt△FDE和Rt△HDG中，
，
∴Rt△FDE≌Rt△HDG（HL），
同理，Rt△FDA≌Rt△HDA（HL），
设△EDF的面积为x，由题意得，
48﹣x＝26+x，
解得x＝11，
即△EDF的面积为11，
故答案为：11．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．（2018秋•老河口市期中）如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，3），点D在第二象限，且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 （﹣4，3）或（﹣4，2） ．
【解答】解：当△ABD≌△ABC时，△ABD和△ABC关于y轴对称，
∴点D的坐标是（﹣4，3），
当△ABD′≌△BAC时，△ABD′的高D′G＝△BAC的高CH＝4，AG＝BH＝1，
∴OG＝2，
∴点D′的坐标是（﹣4，2），
故答案为：（﹣4，3）或（﹣4，2）．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，坐标与图形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
8．（2018秋•谢家集区期中）如图，AD是△ABC的中线，∠ADB与∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F，M是AD上的一点，且DM＝DB．则给出下列结论：
①S△ABD＝S△ACD；②∠EDF＝90°；③MF＝BE；④BE+CF＞EF．
其中正确的是 ①②④ （把所有正确的答震的序号都填在横线上）
【解答】解：如图，过A作AH⊥BC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴S△ABDBD•AH，S△ACDCD•AH，
∴S△ABD＝S△ACD；故①正确；
∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴∠ADE∠ADB，∠ADF∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF（∠ABD+∠ADC）＝90°，
故②正确；
没有条件能够证明MF＝BE，故③错误；
延长ED到G，使DE＝DG，连接CG，FG，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵∠BDE＝∠CDG，
∴∠FDC+∠CDG＝90°，
即∠EDF＝∠FDG，
在△EFD和△GFD中，，
∴△EFD≌△GFD（SAS），
∴EF＝FG，
在△BDE和△CDG中，，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG，
在△CFG中，由三角形三边关系定理得：CF+CG＞FG，
∵CG＝BE，FG＝EF，
∴BE+CF＞EF．故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的计算，三角形的三边关系定理的应用，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
9．（2018秋•邵阳县期中）下列图形中是全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由全等形的概念可知，是全等图形的是
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等图形，解题时注意：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
10．（2018秋•金坛区期中）如图，△ABC≌△DEF，BE＝1，EC＝4，则BF的长是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BE＝CF，
∴BF＝BC+CF＝BE+EC+BE＝1+4+1＝6．
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
11．（2018秋•桐梓县校级期中）已知如图，两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．73°B．57°C．50°D．60°
【解答】解：如图所示：∵两个三角形全等，
∴∠3＝57°，
∴∠1＝∠4＝180°﹣73°﹣57°＝50°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键．
12．（2018秋•南充期中）如图，已知CD＝CA，∠D＝∠A，添加下列条件中的（ ）仍不能证明△ABC≌△DEC．
A．DE＝ABB．CE＝CBC．∠DEC＝∠BD．∠ECD＝∠BCA
【解答】解：A．当DE＝AB，CD＝CA，∠D＝∠A时，可得△ABC≌△DEC（SAS）．
B．当CE＝CB，CD＝CA，∠D＝∠A时，不能得到△ABC≌△DEC．
C．当∠DEC＝∠B，CD＝CA，∠D＝∠A时，可得△ABC≌△DEC（AAS）．
D．当∠ECD＝∠BCA，CD＝CA，∠D＝∠A时，可得△ABC≌△DEC（ASA）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
13．（2018秋•南京期中）如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点．只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ）
A．SASB．ASAC．SSSD．AAS
【解答】解：∵O是AA′，BB′的中点，
∴AO＝A′O，BO＝B′O，
又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角，
∴∠AOB＝∠A′OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
∵，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
∴A′B′＝AB，
∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准，
∴判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
14．（2018秋•曲阜市校级期中）如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．35°B．125°C．55°D．135°
【解答】解：∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣55°＝125°，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，三角形内角和定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15．（2018秋•宁河区期中）有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【解答】解：①两个三角形全等，它们的形状一定相同，此说法正确；
②两个三角形形状相同，它们不一定是全等三角形，此说法错误；
③两个三角形全等，它们的面积一定相等，此说法正确；
④两个三角形面积相等，它们不一定是全等三角形，此说法错误；
综上，正确说法的是①③，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的定义和性质．
16．（2018秋•巴南区期中）如图，直线a，b，c表示交叉的三条公路，现要建一货物中转站，要求它到这三条公路的距离相等，则可供选择的站址最多有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：根据角平分线的判定定可知，可供选择的站址分别是∠EGB和∠DNA的平分线的交点，
∠AGF和∠CME的平分线的交点，∠FMD和∠BNC的平分线的交点，∠EMD和∠ANC的平分线的交点，
∴可供选择的站址最多有4个，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17．（2018秋•普陀区期中）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜10B．1＜AD＜5C．2＜AD＜10D．0＜AD＜5
【解答】解：延长AD至点E，使得DE＝AD，
∵在△ABD和△CDE中，
∵，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB＝CE，AD＝DE
∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．
18．（2018秋•鲤城区校级期中）在△ABC中，高AD和BE所在的直线交于点H，且BH＝AC，则∠ABC等于（ ）
A．45°B．120°C．45°或135°D．45°或120°
【解答】解：分为两种情况：
①如图1，
∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠BDH＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，∠C+∠HBD＝90°，
∴∠CAD＝∠HBD，
在△HBD和△CAD中
，
∴△HBD≌△CAD（AAS），
∴BD＝AD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ABC＝∠BAD＝45°，
②如图2，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠HDB＝∠AEH＝90°，
∴∠H+∠HAE＝∠C+∠HAE＝90°，
∴∠H＝∠C，
∵在△HBD和△CAD中，
，
∴△HBD≌△CAD（AAS），
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．
三．解答题（共7题，满分46分）
19．（6分）（2018秋•长春期中）如图，A、B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E、A、C在同一条直线上，则DE长就是A、B之间的距离，请你说明道理．
【解答】解：∵DE∥AB
∴∠A＝∠E
在ABC和EDC中

∴△ABC≌△EDC （AAS）
∴AB＝DE
即DE长就是A、B之间距离
【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
20．（6分）（2018秋•东西湖区期中）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．
【解答】证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC与△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练全等三角形的判定定理是解题的关键．
21．（6分）（2017秋•西华县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交相交于点P，求点P到AB的距离．
【解答】解：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
PF⊥AC于F，
∵点P是△ABC三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF
∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
PD•ABPE•BCPF•AC
PD•（AB+BC+AC）PD•（7+25+24）
＝28PD
又∵∠ABC＝90°，
∴S△ABCAB•BC7×24＝7×12
∴7×12＝28PD，
∴PD＝3
答：点P到AB的距离为3．
【点评】本题主要考查平分线的性质，主要利用三角形内心到三边的距离相等这一性质．
22．（6分）（2018秋•鼎城区期中）如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，求证：BD＝CE+DE．
【解答】解：∵△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE，
即BD＝DE+CE．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，关键是通过三角形全等得出正确的结论．
23．（7分）（2018秋•岳池县期中）如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
【解答】解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPC+∠CPF＝90°，
又∵∠CPD＝90°，
∴∠CPF+∠FPD＝90°，
∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∵，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC＝PD．
【点评】本题考查了角平分线的性质，以及四边形的内角和是360°、还有三角形全等的判定和性质等知识．正确作出辅助线是解答本题的关键．
24．（7分）（2018秋•大连期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H
（1）求∠APB度数；
（2）求证：△ABP≌△FBP；
（3）求证：AH+BD＝AB．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA（∠ABC+∠BAC）＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°；
（2）∵∠APB＝135°，
∴∠DPB＝45°，
∵PF⊥AD，
∴∠BPF＝135°，
在△ABP和△FBP中，
，
∴△ABP≌△FBP（ASA）；
（3）∵△ABP≌△FBP，
∴∠F＝∠BAD，AP＝PF，AB＝BF，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴∠F＝∠CAD，
在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH＝DF，
∵BF＝DF+BD，
∴AB＝AH+BD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABP≌△FBP和△APH≌△FPD是解题的关键.
25．（8分）（2019春•南海区期中）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°
①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE＝2CMBN．
【解答】（1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，
∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°，
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵点A、D、E在同一直线上，且∠CDE＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，
∴∠BEC＝130°，
∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°．
（2）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠DAC＝∠EBC，
∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝120°
∴∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝30°，
∵CM⊥DE，
∴∠CMD＝90°，DM＝EM，
∴MECM，
∴DE＝2CM，
∵∠BEN＝∠BAE+∠ABE＝∠BAE+∠EBC+∠CBA＝∠BAE+∠DAC+∠CBA＝30°+30°＝60°，
∴∠NBE＝30°，
∴BE＝2EN，ENBN，
∴BEBN，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD+DE，
∴AE＝2CMBN．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型.