北师大版七年级下册第四章 三角形综合与测试导学案

第七讲《三角形全等》拔高训练营

1.全等三角形的性质

全等三角形对应边相等，对应角相等.

2.全等三角形的判定定理

全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “

全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.

全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）  

全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.

要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

1．如图，在等腰直角三角形中，，点B在直线l上，过A作于D，过C作于E．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

2．如图已知中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为，则当与全等时，的值为（    ）

A．1 B．3 C．1或3 D．2或3

3．如图，已知在和中，．求证：．

4．如图，，是线段上两点，于点，于点.连接，.若，.求证：．

5．（1）如图1，已知中，，，直线l经过点O，直线l， 直线l，垂足分别为点C，D．依题意补全图l，并写出线段BC，AD，CD之间的数量关系为______；

（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，C，O，D三点都在直线l上，并且有，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，在中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，请直接写出点B的坐标．

6．如图，在△ABC中，，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．

（1）求证：AD＝CE

（2）AD＝6cm，DE＝4cm，求BE的长度

7．如图，在中，，，点是的中点，将一块锐角都为的等腰直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与、重合，点为直角三角板的直角顶点，连接、．试猜想线段和的数量及位置关系，并证明你的猜想．

8．在中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．

（1）当直线MN绕着点C旋转到如图1所示的位置时，

求证：①；

②DE=AD+BE

（2）当直线MN绕着点C旋转到如图2所示的位置时，

①找出图中一对全等三角形；

②DE、AD、BE之间有怎样的数量关系，并加以证明．

9．阅读下列材料，完成相应任务．

数学活动课上，老师提出了如下问题：

如图1，已知中，是边上的中线．

求证：．

智慧小组的证法如下：

证明：如图2，延长至，使，

∵是边上的中线∴

在和中

∴（依据一）∴

在中，（依据二）

∴．

任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：______________________________________________；

依据2：______________________________________________．

归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．

任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；

任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．

10．如图1，在正方形中，分别是上的点，且，则有结论成立；

如图2，在四边形中，分别是上的点，且是的一半， 那么结论是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请说明理由．

若将中的条件改为：如图3，在四边形中，，延长到点，延长到点，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明

11．如图所示，是某城市街道示意图，已知与均是等边三角形（即三条边都相等，三个角都相等的三角形），点为公交车停靠站，且点在同一条直线上．

（1）图中与全等吗？请说明理由；

（2）连接，写出与的大小关系；

（3）公交车甲从出发，按照的顺序到达站；公交车乙从出发，按照的顺序到达站．若甲，乙两车分别从两站同时出发，在各站停靠的时间相同，两车的平均速度也相同，则哪一辆公交车先到达指定站？为什么？

参考答案

1．D

2．D

3．略

4．略

5．（1）补全如图所示见解析；；（2）成立；（3）点B的坐标为．

6．（1）略；（2）．

7．数量关系为：，位置关系是：，

8．（1）①略；②略；（2）①；②，9．任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“SAS”）；依据2：三角形两边的和大于第三边；任务二：；任务三：EF=2AD，

10．（1）略；（2）结论不成立，应为

11．（1）；（2）；（3）两公交车同时到达指定站