高中数学人教版新课标A必修41.6 三角函数模型的简单应用达标测试
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这是一份高中数学人教版新课标A必修41.6 三角函数模型的简单应用达标测试,共5页。试卷主要包含了故选C,6+4等内容,欢迎下载使用。
第16课时 三角函数模型的简单应用 课时目标1.能运用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的问题.2.能解决一些简单的与三角函数有关的物理问题和实际问题. 识记强化 三角函数模型应用的四个问题是:(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式画图象;(3)将实际问题转化为与三角函数有关的简单函数模型;(4)利用收集到的相关数据作散点图进行函数拟合,从而得到三角函数模型. 课时作业一、选择题1.某人的血压满足函数式f(t)=24sin(160πt)+110,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为( )A.60 B.70 C.80 D.90答案:C解析:由于ω=160π,故函数的周期T==,所以f==80,即每分钟心跳的次数为80.故选C.2.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离S cm和时间t s的函数关系为S=8sin,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.2πs B.πsC.0.5 s D.1 s答案:D解析:因为ω=2π,所以T==1.3.水平地面上发射的炮弹,初速度大小为v0,发射角为θ,重力加速度为g,则炮弹上升的高度y与飞行时间t之间的关系式为( )A.y=v0tB.y=v0sinθt-gt2C.y=v0sinθtD.y=v0cosθt答案:B解析:竖直方向的分速度v0sinθ,由竖直上抛运动的位移公式y=v0sinθt-gt2,故选B.4.单位圆上有两个动点M、N,同时从P(1,0)点出发,沿圆周转动,M点按逆时针方向转,速度为rad/s,N点按顺时针方向转,速度为rad/s,则它们出发后第三次相遇时各自走过的弧度数分别为( )A.π,2π B.π,4πC.2π,4π D.4π,8π答案:C解析:设M、N两点走过的弧长分别为l1和l2,自出发至第三次相遇,经过t秒,则l1=t,l2=t.∴t+t=6π,∴t=12,∴l1=2π,l2=4π.5.如图为2015年某市某天中6 h至14 h的温度变化曲线,其近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,<φ<π的半个周期的图象,则该天8 h的温度大约为( )A.16 ℃ B.15 ℃C.14 ℃ D.13 ℃答案:D解析:由题意得A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20.∵2×(14-6)=16,∴=16,∴ω=,∴y=10sin+20,将x=6,y=10代入得10sin+20=10,即sin=-1,由于<φ<π,可得φ=,∴y=10sin+20,x∈[6,14].当x=8时,y=10sin+20=20-5≈13,即该天8 h的温度大约为13 ℃,故选D.6.一根长l厘米的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(厘米)和时间t(秒)的函数关系是:s=3cos.已知g=980厘米/秒,要使小球摆动的周期是1秒,线的长度应当是( )A.cm B.cmC.cm D.cm答案:C解析:由周期T==2π=2π,所以小球的摆动周期T=2π .由l=g2,代入π=3.14,g=980,T=1,得l=9802=cm.二、填空题7.电流I(mA)随时间t(s)变化的函数关系是I=3sin100πt+,则电流I变化的最小正周期、频率和振幅分别为______,______,______.答案: 50 3解析:最小正周期T==;频率f==50;振幅A=3.8.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B,的模型波动(x为月份).已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元.根据以上条件可确定f(x)的解析式为________.答案:f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)解析:由题意,可得A==2,B=7,周期T==2×(7-3)=8,∴ω=.∴f(x)=2sin+7.∵当x=3时,y=9,∴2sin+7=9.即sin=1.∵|φ|<,∴φ=-.∴f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*).9.如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面距离是h,则h与θ间的函数关系式为______________________.答案:h=5.6+4.8sin解析:以O为原点建立坐标系,如右图,则以Ox为始边,OB为终边的角为θ-,故点B的坐标为.∴h=5.6+4.8sin.三、解答题10.交流电的电压E(单位:V)随时间t(单位:s)变化的关系式是E=220sin,t∈[0,+∞).(1)求开始时(t=0)的电压;(2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间;(3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔.解:(1)当t=0时,E=220×sin=110,即开始时的电压为110 V.(2)电压的最大值为220 V.当100πt+=时,t=,即电压首次达到最大值的时间为 s.(3)T==,即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为 s.11.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=Asin(ωt+φ)A>0,ω>0,|φ|<.(1)若I=Asin(ωt+φ)在一个周期内的图象如图所示,试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式;(2)为了使I=Asin(ωt+φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值,那么正整数ω的最小值是多少?解:(1)由图,可知A=300.设t0=-,t1=,t2=.∵T=t2-t0=-=,∴ω==100π,∴I=300sin(100πt+φ).将代入解析式,得-+φ=2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴I=300sin.(2)由题意,知≤,∴ω≥200π,∴正整数ω的最小值为629. 能力提升 12.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AB的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( )答案:C解析:令所对的圆心角为θ,由|OA|=1,得l=θ.又∵sin=,∴d=2sin=2sin.∴d=f(l)=2sin(0≤l≤2π),它的图象为C.13.节能环保日益受到人们的重视,水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=30 km,BC=15 km,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与A、B等距离的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO、BO、PO.设∠BAO=x(弧度),排污管道的总长度为y km.(1)将y表示为x的函数;(2)试确定O点的位置,使铺设的排污管道的总长度最短,并求总长度的最短公里数(精确到0.01 km).分析:(1)直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度,即可得到所求函数关系式;(2)记p=,则sinx+pcosx=2,求出p的范围,即可得出结论.解:(1)由已知得y=2×+15-15tanx,即y=15+15×(其中0≤x≤)(2)记p=,则sinx+pcosx=2,则有≤1,解得p≥或p≤-由于y>0,所以,当x=,即点O在CD中垂线上离点P距离为 km处,y取得最小值15+15≈40.98 km.
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