数学必修41.6 三角函数模型的简单应用教学设计

教学目标：

  1.能正确分析收集到的数据，选择恰当的函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题．

2.体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．

3.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力,培养学生数学应用意识．

教学重点：

对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型，用

函数思想解决具有周期变化的实际问题．

教学难点：

（1）分析、整理、利用信息，从实际问题中抽象出三角函数模型．

（2）由图象求解析式时的确定．

教学过程：

一、复习提问

1. 函数图像上每一点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位，求所得函数图像的解析式.

2．函数的最小值是2，其图象最高点与最低点横坐标差是3，且图象过点(0,1)，求函数解析式.

3. 讨论：如何由图观察得到三角函数的各系数？ 如何确定初相？

    二、研探新知

例1　(学生自学)一半径为的水轮如图1-3-22所示，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．

（1）将点距离水面的高度表示为时间的函数；

（2）点第一次到达最高点大约要多长时间？

（例1是一个有关圆周运动的问题，是现实生活中的周期问题，可以运用三角函数模型来解决（具体地可以借助图形计算器或计算机来画图求解）．由此可见，三角函数是描述周期现象的重要数学模型．

教师进行适当的评析.并回答下列问题：根据物理常识，应选择怎样的函数式模拟物体的运动；怎样求A，和初相位？）

例2　海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.

（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的近似数值.

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

（3）若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

【问题1】

1.请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？应该选

择怎样的数学模型反映该实际问题？

小组合作发现，代表发言，可能结果：

（1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米．

（2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少．

（3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律．

（4） 学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律．

（5）教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的类似？

2．根据正弦型函数，回答下列问题．

（1）图表中的最大值与三角函数的哪个量有关？

（2）函数的周期为多少？

（3）“吃水深度”对应函数中的哪个字母？

3. 学生活动，求解析式

为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程．

教师应该点明：建模过程——选模、求模、验模、应用．

【问题2】

    （师生一起分析）水深米得出，即，

    （讨论）解三角不等式的方法

令学生活动：操作计算器计算， 结合电脑呈现图象．

发现：在[0，24]范围内，方程的解一共有4个，从小到大依次记为：

 　　那么其他三个值如何求得呢？（留给学生思考）

得到了4个交点的横坐标值后，结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？

（过渡语）刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃水深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，这样一来当两者都在改变的时候，我们又该如何选择进出港时间呢？请看下面问题：

【问题3】

 　　（学生讨论）安全即需要：实际水深安全水深，即：

 　　　，

 　　讨论求解方法：用代数的方法？几何的角度？（电脑作图并呈现）

 　　通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区．那么P点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）求P点横坐标即解方程（数形结合，根据函数图象求近似解）．

从这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后再驶回来．这样对公司来说就会造成才力、物力上的巨大浪费？那该怎么来做呢？ （可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度）

三、数学应用

1.如图，单摆从某点给一个作用力后开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s厘米和时间t秒的函数关系为.

（1）单摆摆动5秒时，离开平衡位置___厘米.

（2）单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为___厘米.

（3）单摆来回摆动10次所需的时间为___秒.

2.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．

（1）求这一天6～14时的最大温差；

（2）写出这段曲线的函数解析式．

3.某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记为y=，下面是某日水深数据：

经过长期观察，y=的曲线可以近似看成y=Asint+b的图象.

（i）根据以上数据求出y=的近似表达式；

（ii）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？

（从表中读到一些什么数据？ → 依次求各系数 → 应用模型解决问题）

答案：（0≤t≤24）；  13（小时））.

  【反思】1.如何根据图像求解析式中的待定参数

2.探索的各种求法（这是本题的关键！也是难点！）（用最大、最小值点代入不容易出现错误）

 　　四、小结

     三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，待定系数法是三角函数中确定函数解析式最重要的方法.

三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．

回顾整个探究过程，经历了：

第一阶段：收集数据-----画散点图；

第二阶段：根据图象特征---选模、求模、验模；

第三阶段：函数模型应用．