高中数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式精练

这是一份高中数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式精练，共5页。试卷主要包含了证明，计算等内容，欢迎下载使用。

1．化简cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α＝( )．
A．sin(2α＋β) B．sin β
C．cs(2α＋β) D．cs β
解析 原式＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－α))＝cs β，故选D.
答案 D
2．计算sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°的值是( )．
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(1,2)
解析 原式＝sin 14°cs 16°＋cs 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)，故选B.
答案 B
3．若α＋β＝eq \f(3,4)π，则(1－tan α)(1－tan β)的值为( )．
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
解析 (1－tan α)(1－tan β)＝1＋tan αtan β－(tan α＋tan β)①
∵tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan eq \f(3,4)π(1－tan αtan β)＝tan αtan β－1，∴①式＝2，故选D.
答案 D
4．已知tan α＝2，tan β＝3，α、β均为锐角，则α＋β的值是________．
解析 因为tan (α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(2＋3,1－2×3)＝－1，又α、β是锐角，0<α＋β<π，所以由tan(α＋β)＝－1得α＋β＝eq \f(3,4)π.
答案 eq \f(3π,4)
5．如果cs θ＝－eq \f(12,13)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3,2)π))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))的值是________．
解析 由cs θ＝－eq \f(12,13)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3,2)π))知
sin θ＝－eq \r(1－cs2θ)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))2)＝－eq \f(5,13)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝cs θcs eq \f(π,4)－sin θsin eq \f(π,4)
＝eq \f(\r(2),2)(cs θ－sin θ)＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,13)))＝－eq \f(7\r(2),26).
答案 －eq \f(7\r(2),26)
6．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β，
并用该式计算sin220°＋sin 80°·sin 40°的值．
解 sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sin αcs β＋cs αsin β)(sin αcs β－cs αsin β)
＝sin2αcs2β－cs2αsin2β
＝sin2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β
＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β
＝sin2α－sin2β，
∴等式成立．
于是，sin220°＋sin 80°·sin 40°
＝sin220°＋sin(60°＋20°)sin(60°－20°)
＝sin220°＋sin260°－sin220°
＝sin260°＝eq \f(3,4).
综合提高 限时25分钟
7．(2012·武昌高一检测)已知0<α则sin β＝( )．
A．0 B．0或eq \f(24,25) C.eq \f(24,25) D．0或－eq \f(24,25)
解析 ∵0<α∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cs α－cs(α＋β)·sin α＝eq \f(24,25)或0.
∵eq \f(π,2)<β<π，∴sin β＝eq \f(24,25).故选C.
答案 C
8．在△ABC中，若sin Asin BA．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析 由sin Asin B0⇒cs(A＋B)>0⇒cs C<0⇒C是钝角，故选D.
答案 D
9．计算：sin 75°·sin 15°＝________.
解析 sin 75°sin 15°＝cs 15°cs 75°
＝cs(45°－30°)·cs(45°＋30°)
＝(cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°)(cs 45°cs 30°－
sin 45°sin 30°)
＝(cs 45°cs 30°)2－(sin 45°sin 30°)2
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)×\f(1,2)))2＝eq \f(1,4).
答案 eq \f(1,4)
10．已知在锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝eq \f(3,5)，sin(A－B)＝eq \f(1,5)，则eq \f(tan A,tan B)＝________.
解析 ∵sin(A＋B)＝eq \f(3,5)，sin(A－B)＝eq \f(1,5)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin Acs B＋cs Asin B＝\f(3,5),sin Acs B－cs Asin B＝\f(1,5)))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin Acs B＝\f(2,5),cs Asin B＝\f(1,5)))⇔eq \f(tan A,tan B)＝2.
答案 2
11．(2012·清远高一检测)如图，在平面直角坐标系
xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的
终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的
横坐标分别为eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5).
求tan(α＋β)的值．
解 由条件得cs α＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝eq \f(2\r(5),5).
∵α、β为锐角，∴sin α＝ eq \r(1－cs2α)＝eq \f(7\r(2),10)，
sin β＝ eq \r(1－cs2β)＝eq \f(\r(5),5).
由此tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝7，tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(1,2).
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β)＝eq \f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3.
12．(创新拓展)已知函数f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－2cs x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
(1)若sin x＝eq \f(4,5)，求函数f(x)的值；
(2)求函数f(x)的值域．
解 (1)∵sin x＝eq \f(4,5)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cs x＝－eq \f(3,5)，
f(x)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x＋\f(1,2)cs x))－2cs x＝eq \r(3)sin x－cs x＝eq \f(4,5)eq \r(3)＋eq \f(3,5).
(2)f(x)＝eq \r(3)sin x－cs x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x－\f(1,2)cs x))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，∵eq \f(π,2)≤x≤π，
∴eq \f(π,3)≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6)，eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))≤1，
∴函数f(x)的值域为[1,2]．