高中数学人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式同步达标检测题

能 力 提 升

一、选择题

1．在△ABC中，已知sin(A－B)·cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形   B．钝角三角形

C．直角三角形   D．等腰非直角三角形

[答案]　C

[解析]　由题设知sin[(A－B)＋B]≥1，

∴sinA≥1而sinA≤1，∴sinA＝1，A＝，

∴△ABC是直角三角形．

2.sin＋sin的化简结果是(　　)

A．2sin   B．2sin

C．2sin   D．2sin

[答案]　A

[解析]　sin＋sin

＝sin＋sin

＝cos＋sin

＝2

＝2

＝2sin＝2sin.

3．(2013烟台模拟)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cosβ＝(　　)

A．－   B．－ 

C.   D.

[答案]　C

[解析]　∵α、 β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.

4．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为(　　)

A．0　　　　 B.　　 　

C．0或　　 D．0或±

[答案]　A

[解析]　由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，

cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，

左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0.

5．若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于(　　)

A.   B.

C.或   D．－

[答案]　B

[解析]　∵α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，

又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，

由sinα＝得，cosα＝，

∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选B.

6．(2012·全国高考重庆卷)(　　)

A．－   B．－ 

C.   D.

[答案]　C

[解析]　

＝

＝

＝＝sin30°＝

二、填空题

7．化简：cos(35°－x)cos(25°＋x)－sin(35°－x)sin(25°＋x)＝________.

[答案]　

[解析]　原式＝cos[(35°－x)＋(25°＋x)]

＝cos60°＝.

8．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________.

[答案]　－

[解析]　由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，

∵450°<β<540°，∴sinβ＝，

∴sin(60°－β)＝·－×＝－.

9．已知α、β为锐角，且tanα＝，tanβ＝，则sin(α＋β)＝________.

[答案]　

[解析]　∵α为锐角，tanα＝，

∴sinα＝，cosα＝，

同理可由tanβ＝得，sinβ＝，cosβ＝.

∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

＝×＋×＝.

三、解答题

10．已知sinα＝，cosβ＝－，且α、β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．

[解析]　∵sinα＝>0，cosβ＝－，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．

(1)当α为第一象限角且β为第二象限角时，

cosα＝，sinβ＝

∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×(－)＋×＝.

∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.

×(－)－×

＝＝－.

(2)当α为第二象限角且β为第三象限角时

∵sinα＝，cosβ＝－，

∴cosα＝－，sinβ＝－，

∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

＝×(－)＋(－)×(－)＝

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ

＝×(－)－(－)×(－)＝－，

综上可知：sin(α＋β)＝，

sin(α－β)＝－.

11．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.

(1)求cos(α－β)的值；

(2)若－<β<0<α<，且sinβ＝－，求sinα的值．

[解析]　(1)∵|a－b|＝，

∴a2－2a·b＋b2＝，

又a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，

∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，

∴cos(α－β)＝.

(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，

由(1)得cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，

又sinβ＝－，∴cosβ＝，

∴sinα＝sin[(α－β)＋β]

＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ

＝×＋×＝.

12．(山东师大附中2012－2013期中)已知cosα＝，

sin(α－β)＝，且α、 β∈(0，)．求：

(1)cos(2α－β)的值；

(2)β的值．

[解析]　(1)因为α、 β∈(0，)，

所以α－β∈(－，)，又sin(α－β)＝>0，

∴0<α－β<

所以sinα＝＝，

cos(α－β)＝＝，

cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]

＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)

＝×－×＝

(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]

＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)

＝×＋×＝

又因为β∈(0，)，所以β＝.