数学必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

这是一份数学必修4第三章 三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

3.1.1两角和与差的正弦，余弦和正切公式（导学案） 学习目标 1、知识目标：两角和与差的正弦，余弦和正切公式2、能力目标：会用两角和与差的正弦，余弦和正切公式解决一些简单的问题 学习过程 一、复习准备：1.三角函数的定义：设α是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么：，，2.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。如：， ，， 3.向量的数量积：; (模长形式) （坐标形式）二、问题设置：我们在初中的时候，就已经知道，由此，我们能否得出大家可以猜想，是不是等于呢？三、知识探究：1、差角的余弦公式推导：如图所示，任意角α的终边OP与单位圆相交于点P，根据三角函数的定义可知，点P的坐标是 （用α表示），同样的，任意角β的终边OQ与单位圆相交于点Q，根据三角函数的定义，点Q的坐标是 （用β表示），故向量，（填坐标），的夹角为 ，，由向量的数量积可知：①（模长形式）②（坐标形式）由①②可得 ③又∵ （思考：为什么有这个等式）∴ ④由③④可得： （）此公式给出了任意角α，β的正弦，余弦值与其差角的余弦值之间的关系。称之为差角的余弦公式。简记为显然，有了公式以后，我们只要知道 的值，就可以求得的值。若令，则有：即一个任意角的余弦可以表示为两个角的差的余弦，然后利用差角公式，可求此任意角的余弦值。的作用： 2、和角的余弦公式推导：例如：求，的值，分析：=，解：化简得：（ 公式，简记为 ）思考1：是否可以看做其它角的差？等是否也可用类似方法求余弦值？思考2：观察余弦的和角公式与差角公式的特点，你能编一句口诀加以记忆吗？（提示：从公式的结构特点，函数名称，以及符号的变化等方面进行思考归纳）记忆口诀： 3、和差角的正弦公式推导：思考3：由诱导公式可知，余弦与正弦之间可以相互转化，那么，可以转化为 ，即：思考4：对此转化结果，若用余弦的差角公式展开化简，可以得到怎样的结果？答： （ 公式，简记为 ）同样的，我们也可以对做类似的转化，最终得出： （ 公式，简记为 ）记忆口诀： 4、和差角的正切公式推导：思考6：由正切函数与正弦，余弦函数的关系可知：所以：（分子分母同时除以）化简的： （ 公式，简记为 ）同法可得：（ 公式，简记为 ）记忆口诀： 思考5：通过上面的一系列推导，我们不难发现，这六个和与差的三角函数公式之间具有非常紧密的逻辑联系，这种联系可以用框图的形式表示出来，请根据下面框图中的提示，完善此框图。四．知识巩固：例题1、利用和差角公式，计算下列各式的值：（1） （3）（2） （4）例题2、证明：例题3、已知五．课时小结： 学习评价自我评价：通过本节课的学习，你认为自己完成学习目标的情况（ ）。 A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差自我检测：求值：（1） （2）（3） （4）2、已知α是第三象限角，求的值 思考提高化简：（1） （2） （3） （4） 教师评价你认为该生通过本节课的学习，完成学习目标的情况是（ ）。A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差