高中数学人教版新课标A必修43.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一课一练

第27课时　两角差的余弦公式

　掌握两角差的余弦公式及推导，能用公式进行简单的恒等变形．

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

一、选择题

1．cos(－75°)的值是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：C

解析：cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos45°·cos120°＋sin45°sin120°＝×＋×＝，故选C.

2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝，sinβ＝－，则cos(α－β)的值为(　　)

A．－  B．－

C.      D.

答案：A

解析：∵α为锐角，且cosα＝，∴sinα＝＝.∵β为第三象限角，且sinβ＝－，∴cosβ＝－＝－，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.故选A.

3．已知锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　)

A.  B．－

C.  D．－

答案：A

解析：∵α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝，∴cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.

4．在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，则△ABC是(　　)

A．等边三角形  B．直角三角形

C．锐角三角形  D．钝角三角形

答案：D

解析：由题意，得cosAcosB－sinAsinB>0.

即cos(A＋B)>0，－cosC>0，cosC<0.

又0<C<π，故<C<π，△ABC为钝角三角形．

5．已知α，β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α－β等于(　　)

A.  B．－

C.  D．－

答案：B

解析：因为α，β均为锐角，所以sinα＝，sinβ＝.

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝

又∵sinα<sinβ；∴0<α<β<，

∴－<α－β<0.故α－β＝－.

6．若cos＝，x∈，则cosx的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：A

解析：∵x∈，∴∈.

∴sin＝－.

∴cosx＝cos＝coscos＋sinsin＝＝.

二、填空题

7．－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________.

答案：cos1°

解析：－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝－sin40°·(－sin39°)＋cos40°cos39°＝cos(40°－39°)＝cos1°.

8．已知α是第二象限角，sin＝－，则cosα＝________.

答案：－

解析：因为α是第二象限角，sin＝－<0，所以α＋是第三象限角，

所以cos＝－，

所以cosα＝cos＝

cos＋sin＝－.

9．若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b＝________.

答案：

解析：a·b＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.

三、解答题

10．已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小．

解：因为sin(π－α)＝，所以sinα＝.

因为0<α<，所以cosα＝＝.

因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，所以0<α－β<，

所以sin(α－β)＝＝.

所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.

因为0<β<，

所以β＝.

11．已知函数f(x)＝－cos2xcos＋sin2xsin.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若<α<β<，f(α)＝，且f(β)＝，求角2β－2α的大小．

解：(1)因为f(x)＝－cos2xcos＋sin2xsin，

所以f(x)＝cos2xcos＋sin2xsin＝cos，

所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)因为f(α)＝，且f(β)＝，

所以cos＝，

cos＝.

又<α<β<，所以2α－，2β－∈，

所以sin＝＝，sin＝＝，

所以cos(2β－2α)

＝cos

＝coscos＋

sinsin

＝×＋×＝.

又<α<β<，所以0<2β－2α<，所以2β－2α＝.

12．若cos(α－β)＝，cos2α＝，且α、β均为锐角，α<β，则α＋β的值为(　　)

A.   B.

C.  D.

答案：C

解析：∵0<α<，0<β<，α<β，∴－<α－β<0.

又cos(α－β)＝，

∴sin(α－β)＝－＝－.

又∵0<2α<π，cos2α＝，

∴sin2α＝＝，

∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝×＋×＝－.

又0<α＋β<π，故α＋β＝.

13．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的取值范围．

解：由sinα＋sinβ＝，平方得，

sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝，　　①

设cosα＋cosβ＝m，平方得，

cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝m2,  ②

由①＋②，得sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＋cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝m2＋，

整理得，m2＝＋2cos(α－β)．

又由于cos(α－β)∈[－1,1]，m2>0，

所以0≤m2≤，解得－≤m≤.

∴cosα＋cosβ的取值范围是.