数学选修4-1一 平行线等分线段定理同步达标检测题

课时跟踪检测(一)  平行线等分线段定理

一、选择题

1．在梯形ABCD中，M，N分别是腰AB与腰CD的中点，且AD＝2，BC＝4，则MN等于(　　)

A．2.5　　　　　　　　   B．3  C．3.5   D．不确定

解析：选B　由梯形中位线定理知选B.

2．如图，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的(　　)

A.倍  B.倍  C.倍  D.倍

解析：选A　∵EF⊥BC，AD⊥BC，

∴EF∥AD.

又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，

即BF＝FD.

又DC＝BD，

∴DC＝BF.

∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF.

3．梯形的中位线长为15 cm，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为(　　)

A．12 cm　18 cm   B．20 cm　10 cm

C．14 cm　16 cm   D．6 cm　9 cm

解析：选A　如图，设MP∶PN＝2∶3，则MP＝6 cm，PN＝9 cm.

∵MN为梯形ABCD的中位线，在△BAD中，MP为其中位线，

∴AD＝2MP＝12 cm.

同理可得BC＝2PN＝18 cm.

4．梯形的一腰长为10 cm，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm，则此梯形的面积为　(　　)

A．30 cm2  B．40 cm2  C．50 cm2   D．60 cm2

解析：选D　如图，过A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，

AE＝ABsin 30°＝5 cm.

又已知梯形的中位线长为12 cm，

∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．

∴梯形的面积S＝(AD＋BC)·AE＝×5×24＝60 (cm2)．

二、填空题

5．如图，在AD两旁作AB∥CD且AB＝CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，则把AD分成四条线段的长度________(填“相等”或“不相等”)．

解析：如图，过A作直线AM平行于A1C，过D作直线DN平行于BC2，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理知，A1C，A2C1，BC2把AD分成四条线段的长度相等．

答案：相等

6．如图，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝AD，若EG＝2 cm，则AC＝______；若BD＝10 cm，则EF＝________.

解析：由E是AB的中点，EF∥BD，得F为AD的中点．

由EG∥AC，得EG＝AD＝FD＝2 cm，

结合CD＝AD，

可以得到F，D是AC的三等分点，

则AC＝3EG＝6 cm.

由EF∥BD，得EF＝BD＝5 cm.

答案：6 cm　5 cm

7．如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP.若AB＝6 cm，则AP＝________；若PM＝1 cm，则PC＝________.

解析：由AD⊥BC，AB＝AC，知BD＝CD，

又DN∥CP，

∴BN＝NP，

又AM＝MD，PM∥DN，知AP＝PN，

∴AP＝AB＝2 cm.

易知PM＝DN，DN＝PC，

∴PC＝4PM＝4 cm.

答案：2 cm　4 cm

三、解答题

8．已知△ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等分点(BE>CE)，AE，CD交于点F.

求证：F是CD的中点．

证明：如图，

过D作DG∥AE交BC于G，

在△ABE中，∵AD＝BD，DG∥AE，

∴BG＝GE.

∵E是BC的三等分点，

∴BG＝GE＝EC.

在△CDG中，∵GE＝CE，DG∥EF，

∴DF＝CF，

即F是CD的中点．

9.如图，在等腰梯形中，AB∥CD，AD＝12 cm，AC交梯形中位线EG于点F，若EF＝4 cm，FG＝10 cm.求此梯形的面积．

解：作高DM，CN，

则四边形DMNC为矩形．

∵EG是梯形ABCD的中位线，

∴EG∥DC∥AB.

∴F是AC的中点．

∴DC＝2EF＝8，AB＝2FG＝20，

MN＝DC＝8.

在Rt△ADM和Rt△BCN中，

AD＝BC，∠DAM＝∠CBN，∠AMD＝∠BNC，

∴△ADM≌△BCN.

∴AM＝BN＝(20－8)＝6.

∴DM＝＝＝6.

∴S梯形＝EG·DM＝14×6＝84 (cm2)．

10.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.

求证：EF＝FC.

证明：法一：如图，连接BE交AF于点O.

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴BO＝OE.

又∵AF∥BC，

∴EF＝FC.

法二：如图，

延长ED交BC于点H.

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AB∥ED，AB∥DH，

AB＝ED.

又∵AF∥BC，

∴四边形ABHD是平行四边形．

∴AB＝DH.

∴ED＝DH.

∴EF＝FC.

法三：如图，延长EA交CB的延长线于点M.

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴BD∥EA，AE＝BD.

又∵AD∥BC.

∴四边形AMBD是平行四边形．

∴AM＝BD.

∴AM＝AE.

∴EF＝FC.