人教版新课标A选修4-1二 平行线分线段成比例定理随堂练习题

阶段质量检测(二)  A卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是(　　)

A．42°　　　　　　　　   B．138°  C．84°   D．42°或138°

答案：D

2.如图，在⊙O中，弦AB长等于半径，E为BA延长线上一点，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数是(　　)

A．60°   B．50°

C．45°   D．30°

解析：选B　∠BCD＝∠DAE＝80°，

在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝AC，

∴∠ACB＝30°.∴∠ACD＝80°－30°＝50°.

3．如图所示，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 cm的弦AB.则此弦所对的圆心角∠AOB为(　　)

A．60°   B．90°  C．120°   D．150°

解析：选C　作OC⊥AB于C，则BC＝，

在Rt△BOC中，cos ∠B＝＝.

∴∠B＝30°.

∴∠BOC＝60°.∴∠AOB＝120°.

4.如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦CD的距离为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　过O作OH⊥CD，连接OD，

则DH＝CD.

由相交弦定理知，

AE·BE＝CE·DE.

设CE＝4x，则DE＝9x，

∴4×4＝4x×9x，解得x＝，

∴OH＝＝ ＝.

5.如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，且PB＝BC，PA＝3，那么BC的长为(　　)

A.   B．2  C．3   D．3

解析：选C　根据切割线定理PA2＝PB·PC，

所以(3)2＝2PB2.所以PB＝3＝BC.

6．两个同心圆的半径分别为3 cm和6 cm，作大圆的弦MN＝6 cm，则MN与小圆的位置关系是(　　)

A．相切   B．相交  C．相离   D．不确定

解析：选A　作OA⊥MN于A.连接OM.

则MA＝MN＝3.

在Rt△OMA中，

OA＝＝3 cm.

∴MN与小圆相切．

7.如图，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，连接AB，CD，下面结论：

①PA·PC＝PD·PB；

②PC·CA＝PB·BD；

③CE·CD＝BE·BA；

④PA·CD＝PD·AB.

其中正确的有(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

解析：选A　根据割线定理及相交弦定理知只有①式正确．

8．已知⊙O的两条弦AB，CD交于点P，若PA＝8 cm，PB＝18 cm，则CD的长的最小值为(　　)

A．25 cm  B．24 cm  C．20 cm   D．12 cm

解析：选B　设CD＝a cm，CD被P分成的两段中一段长x cm，另一段长为(a－x) cm.

则x(a－x)＝8×18，即8×18≤2＝a2.

所以a2≥576＝242，即a≥24.

当且仅当x＝a－x，即x＝a＝12时等号成立．

所以CD的长的最小值为24 cm.

9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10，tan ∠BAC＝，则阴影部分的面积为(　　)

A.π   B.π－24

C．24   D.π＋24

解析：选B　∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，

∵tan ∠BAC＝，

∴sin ∠BAC＝.

又∵sin ∠BAC＝，AB＝10，

∴BC＝×10＝6.

AC＝×BC＝×6＝8，

∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝×π×52－×8×6＝π－24.

10．(天津高考)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是(　　 )

A．①②   B．③④

C．①②③   D．①②④

解析：选D　由弦切角定理可得∠DBF＝∠DAB，又∠CBD＝∠CAD＝∠DAB，所以∠DBF＝∠CBD，即BD是∠CBF的平分线，所以①正确；由切割线定理可得②正确；由相交弦定理可得＝，所以③错误；因为△ABF∽△BDF，所以＝，即AF·BD＝AB·BF，所以④正确．故正确结论的序号是①②④.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)

11.如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝45°，则∠AEC＝________.

解析：如图，连接BC.根据圆周角定理的推论1，可知∠ACB＝90°.

∵∠ACD＝60°，

∴∠DCB＝30°，的度数＝60°.

∵∠ADC＝45°，∴的度数＝90°.

∴∠AEC＝∠DCB＋∠CBE＝(＋)的度数＝75°.

答案：75°

12．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.

解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.

答案：5

13．如图，PA与⊙O相切于点A，过点P的割线与弦AC交于点B，与⊙O交于D，E两点，且PA＝PB＝BC，若PD＝4，DE＝21，则AB＝________.

解析：由切割线定理知

PA2＝PD·PE＝4×25＝100，

∴PA＝10，

∴BD＝PB－PD＝PA－PD＝10－4＝6，

BE＝DE－BD＝21－6＝15，

又AB·BC＝BE·BD，BC＝PA＝10，

∴AB＝＝＝9.

答案：9

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，圆E过A，B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________.

解析：∵AB＝AC，∠C＝72°，∴∠ABC＝72°，

则∠BAC＝36°.

∵BC切圆E于点B，∴∠CBD＝∠BAC＝36°，

∴∠ABD＝∠BAC＝36°，

∴∠BDC＝∠ABD＋∠BAC＝36°＋36°＝72°，

∴∠C＝∠BDC，∴AD＝BD＝BC＝－1，

设CD＝x，由切割线定理得BC2＝CD·AC，

即(－1)2＝x·(x＋－1)，

即x2＋(－1)x－(－1)2＝0，

由于x>0，解得x＝3－，

∴AC＝CD＋AD＝(3－)＋(－1)＝2.

答案：2

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF＝FG.

求证：(1)△DEF ∽△EAF；

(2)EF∥CB.

证明：(1)由切割线定理得FG2＝FA·FD.

又EF＝FG，所以EF2＝FA·FD，

即＝.

因为∠EFA＝∠DFE，

所以△DEF ∽△EAF.

(2)由(1)得∠FED＝∠FAE.

因为∠FAE＝∠DCB，

所以∠FED＝∠BCD，所以EF∥CB.

16．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．

证明：∠OCB＝∠D.

证明：因为B，C是圆O上的两点，

所以OB＝OC.

故∠OCB＝∠B.

又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，

故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，

所以∠B＝∠D.

因此∠OCB＝∠D.

17．(本小题满分12分)如图，AF是⊙O的直径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，DE⊥OB，垂足为E.

求证：(1)D是AB的中点；

(2)DE是⊙C的切线；

(3)BE·BF＝2AD·ED.

证明：(1)连接OD.

∵OA为⊙C的直径，

∴OD⊥AB.

又∵OD过⊙O的圆心，

∴D为AB的中点．

(2)连接CD.

∵C为OA的中点，

D为AB的中点，

∴CD∥OB.

又∵DE⊥OB，

∴CD⊥DE，即DE为⊙C的切线．

(3)∵AF为⊙O的直径，

∴∠ABF＝90°.

∵DE⊥OB，

∴∠BED＝90°.

∴∠ABF＝∠BED.

又∵OA＝OB，

∴∠BAF＝∠EBD.

∴△ABF∽△BED.

∴＝，即BE·BF＝AB·ED.

又AB＝2AD，

∴BE·BF＝2AD·ED.

18．(本小题满分14分)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．

(1)证明：A，P，O，M四点共圆；

(2)求∠OAM＋∠APM的大小．

解：(1)证明：如图，连接OP，OM.

∵AP与⊙O相切于点P，

∴OP⊥AP.

∵M是⊙O的弦BC的中点，

∴OM⊥BC.

于是∠OPA＋∠OMA＝180°.

由圆心O在∠PAC的内部，

可知四边形APOM的对角互补，

∴A，P，O，M四点共圆．

(2)由(1)得A，P，O，M四点共圆，

∴∠OAM＝∠OPM.

由(1)得OP⊥AP.

由圆心O在∠PAC的内部，

可知∠OPM＋∠APM＝90°.

∴∠OAM＋∠APM＝90°.