数学人教版新课标A四 弦切角的性质练习

课时跟踪检测(九)  弦切角的性质

一、选择题

1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A，B，则(　　)

A．∠MCB＝∠B　　　　   B．∠PAC＝∠P

C．∠PCA＝∠B   D．∠PAC＝∠BCA

解析：选C　由弦切角定理知∠PCA＝∠B.

2．如图，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于(　　)

A．20°   B．25°  C．30°   D．40°

解析：选B　连接OC.

∵PC切⊙O于C点，

∴OC⊥PC.∵∠P＝40°，

∴∠POC＝50°.

连接BC，

则∠B＝∠POC＝25°，

∴∠ACP＝∠B＝25°.

3．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为(　　)

A．2   B．3  C．2   D．4

解析：选C　连接BC，则∠ACB＝90°，

又AD⊥EF，

∴∠ADC＝90°，

即∠ADC＝∠ACB，

又∵∠ACD＝∠ABC，

∴△ABC∽△ACD，

∴＝，

∴AC2＝AD·AB＝12，

即AC＝2.

4．如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

解析：选A　

连接BC.

∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.

∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.

∴BC＝BP＝1.

由△BCP∽△CAP得

＝.

∴PC2＝PB·PA，

即AC2＝PB·PA.

而AC2＝AB2－BC2，

设⊙O半径为r，

则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.

二、填空题

5．如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE＝40°，则∠P＝________.

解析：连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

又∠ACE＝40°，

∴∠PCB＝∠PBC＝50°.

∴∠P＝80°.

答案：80°

6．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.

解析：连接OC.

∵PC切⊙O于C点，

∴OC⊥PC.

∵PB＝OB＝2，

OC＝2.

∴PC＝2.

∵OC·PC＝OP·CD，

∴CD＝＝.

答案：

7．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.

解析：由PA为⊙O的切线，BA为弦，

得∠PAB＝∠BCA，

又∠BAC＝∠APB，

于是△APB∽△CAB，

所以＝.

而PB＝7，BC＝5，

故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝.

答案：

三、解答题

8.如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A，B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.

求证：CB＝CE.

证明：连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，

所以∠ACB＝90°，

即∠BCF＋∠ACD＝90°.

又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.

所以∠BCF＝∠DAC.

又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF，

又∠DAC＝∠CBE，

所以∠CBE＝∠CEB，

所以CB＝CE.

9.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC，BD相交于点E.

(1)求证：△ABE≌△ACD；

(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，求AE的长．

解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线，

所以∠1＝∠2.

因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，

所以∠2＝∠3.

因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.

因为∠ABD＝∠ACD，

又因为AB＝AC，

所以△ABE≌△ACD.

(2)因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，

所以△BCE∽△ACB，所以＝，

即AC·CE＝BC2.

因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，

所以6·(6－AE)＝16.

所以AE＝ (cm)．

10.如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的角平分线，交AE于点F，交AB于D点．

(1)求∠ADF的度数；

(2)若AB＝AC，求AC∶BC.

解：(1)∵AC为圆O的切线，

∴∠B＝∠EAC.

又DC是∠ACB的平分线，

∴∠ACD＝∠DCB.

∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD.

又∵BE为圆O的直径，

∴∠DAE＝90°，

∠ADF＝(180°－∠DAE)＝45°.

(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACE，

∴△ACE∽△BCA.∴＝.

又∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝∠ADF＝30°.

∴在Rt△ABE中，＝＝tan ∠B＝tan 30°＝.