2020-2021学年第一章 导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用第3课时课时作业

预习导航

1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值

一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．

思考1函数的极值与最值有何区别与联系？

提示：(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．

(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常量函数就没有极大值，也没有极小值．

(3)极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点取得．有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不在端点处则一定是极值．

思考2如果函数f(x)在开区间(a，b)上的图象是连续不断的曲线，那么它在(a，b)上是否一定有最值？若f(x)在闭区间[a，b]上的图象不连续，那么它在[a，b]上是否一定有最值？

提示：一般地，若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值和最小值．这里给定的区间必须是闭区间，如果是开区间，那么尽管函数是连续函数，那么它也不一定有最大值和最小值．

2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

思考3如果f(x)在闭区间[a，b]上恰好为单调函数，那么如何求f(x)在[a，b]上的最值？

提示：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到．当f(x)在闭区间[a，b]上递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间[a，b]上递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值．

思考4如果在开区间(a，b)上的函数y＝f(x)只有一个极值点，那么函数f(x)在开区间(a，b)上有最值吗？如果在(a，b)上有两个或两个以上极值点时，f(x)在(a，b)上有最值吗？

提示：若y＝f(x)在(a，b)上只有极大值点时，则f(x)有最大值，无最小值，且最大值为极大值；

若y＝f(x)在(a，b)上只有极小值点时，则f(x)有最小值，无最大值，且最小值为极小值．

如果在(a，b)上有两个或两个以上极值点时，则f(x)在(a，b)上不一定有最值，常见的有以下几种情况：

如图，图(1)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；

图(2)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；

图(3)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值；

图(4)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．