高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用巩固练习

1.3.3　函数的最大(小)值与导数

[学习目标]

1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．

2．会求某闭区间上函数的最值．

[知识链接]

　极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？

答　函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．

[预习导引]

1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值

函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．

2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

3．函数在开区间(a，b)的最值

在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．

4．极值与最值的意义

(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；

(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．

要点一　求函数在闭区间上的最值

例1　求下列各函数的最值：

(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；

(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．

解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x，

令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得

x＝－1，x＝0，x＝1.

当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：

∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；

当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.

(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，

∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；

x＝1时，f(x)最大值＝2.

即f(x)的最小值为－12，最大值为2.

规律方法　(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．

①求出导数为零的点．

②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．

(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．

跟踪演练1　求下列函数的最值：

(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]；

(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．

解　(1)∵f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4.

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.

∵f(2)＝－，f(0)＝4，f(3)＝1，

∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4，最小值－.

(2)∵f(x)＝3ex－exx2，

∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)

＝－ex(x＋3)(x－1)，

∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，

即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，

∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；

x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.

要点二　含参数的函数的最值问题

例2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．求f(x)在区间[0,2]上的最大值．

解　令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.

①当≤0，即a≤0时，

f(x)在[0,2]上单调递增，

从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.

②当≥2，即a≥3时，

f(x)在[0,2]上单调递减，

从而f(x)max＝f(0)＝0.

③当0<<2，即0<a<3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，

从而f(x)max＝

综上所述，f(x)max＝

规律方法　由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．

跟踪演练2　在本例中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？

解　令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a，

①当a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0；

②当a≤－1，即a≤－时，f(x)在[－1,0]上单调递减，从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；

③当－1<a<0，即－<a<0时，

f(x)在上单调递增；

在上单调递减，

则f(x)max＝f＝－a3.

综上所述：f(x)max＝

要点三　函数最值的应用

例3　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．

(1)求f(x)的最小值h(t)；

(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．

解　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1　(x∈R，t＞0)，

∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，

即h(t)＝－t3＋t－1.

(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，

由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．

当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：

∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，

h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，

也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，

只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.

故实数m的取值范围是(1，＋∞)．

规律方法　(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．

(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到“和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．

跟踪演练3　设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，

(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围；

(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)＜c2成立，求c的取值范围．

解　(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．

∴当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；

当x∈(2,3)时，f′(x)＞0.

∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.

又f(3)＝9＋8c＞f(1)，

∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.

∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)＜c2恒成立，

∴9＋8c＜c2，即c＜－1或c＞9.

∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．

(2)由(1)知f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，

∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．

1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是(　　)

A．f(2)，f(3)  B．f(3)，f(5)

C．f(2)，f(5)  D．f(5)，f(3)

答案　B

解析　∵f′(x)＝－2x＋4，

∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，

故f(x)在[3,5]上单调递减，

故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．

2．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(　　)

A．有最大值，但无最小值

B．有最大值，也有最小值

C．无最大值，但有最小值

D．既无最大值，也无最小值

答案　D

解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.

3．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)

A．π－1  B．－1

C．π  D．π＋1

答案　C

解析　因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′＞0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.

4．(2012·安徽改编)函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为(　　)

A.  B．

C．  D．

答案　A

解析　f′(x)＝ex(sin x＋cos x)．

∵x∈，f′(x)＞0.

∴f(x)在上是单调增函数，

∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝e.

5．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．

答案　－71

解析　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．

由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.

又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，

f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.

由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，

∴f(x)min＝k－76＝－71.

1．求函数的最值时，应注意以下几点：

(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．

(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．

(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．

2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．

3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.

一、基础达标

1．函数y＝f(x)在[a，b]上(　　)

A．极大值一定比极小值大

B．极大值一定是最大值

C．最大值一定是极大值

D．最大值一定大于极小值

答案　D

解析　由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．

2．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是(　　)

A．0  B．

C．  D．

答案　B

解析　y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，∴x＝1，

∴f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值，故选B.

3．函数y＝的最大值为(　　)

A．e－1  B．e

C．e2  D．

答案　A

解析　令y′＝＝＝0.(x＞0)

解得x＝e.当x>e时，y′<0；当0＜x<e时，y′＞0.

y极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，

所以ymax＝.

4．函数y＝在定义域内(　　)

A．有最大值2，无最小值  B．无最大值，有最小值－2

C．有最大值2，最小值－2  D．无最值

答案　C

解析　令y′＝＝＝0，

得x＝±1.当x变化时，y′，y随x的变化如下表：

由上表可知x＝－1时，y取极小值也是最小值－2；x＝1时，y取极大值也是最大值2.

5．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．

答案　(－∞，2ln 2－2]

解析　函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．

6．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________．

答案　＋

解析　y′＝1－2sin x＝0，x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.

7．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．

解　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.

当x＝0时，f(x)的最大值为3.

二、能力提升

8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　)

A．1  B．

C．  D．

答案　D

解析　

由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．

y′＝2t－＝＝.

当0＜t＜时，y′＜0，可知y在上单调递减；

当t＞时，y′＞0，可知y在上单调递增．

故当t＝时，|MN|有最小值．

9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数f(x)＝x3－tx2＋3x，若对于任意的a∈[1,2]，b∈(2,3]，函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，则实数t的取值范围是(　　)

A．(－∞，3]  B．(－∞，5]

C．[3，＋∞)  D．[5，＋∞)

答案　D

解析　∵f(x)＝x3－tx2＋3x，∴f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于函数f(x)在[a，b]上单调递减，则有f′(x)≤0在[a，b]上恒成立，即不等式3x2－2tx＋3≤0在[a，b]上恒成立，即有t≥在[a，b]上恒成立，而函数y＝在[1,3]上单调递增，由于a∈[1,2]，b∈(2,3]，当b＝3时，函数y＝取得最大值，即ymax＝＝5，所以t≥5，故选D.

10．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是________．

答案　－

解析　f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.

∵f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，f(1)＝－＋a，

∴f(x)max＝a＝2.

∴f(x)min＝－＋a＝－.

11．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．

(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；

(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)＜2|c|恒成立，求c的取值范围．

解　(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，

∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，

∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．

∴，∴.

(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，

f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.

当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：

而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，

∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，

要使f(x)＜2|c|恒成立，只要c＋54＜2|c|即可，

当c≥0时，c＋54＜2c，∴c＞54；

当c＜0时，c＋54＜－2c，∴c＜－18.

∴c的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)，

此即为参数c的取值范围．

12．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

解　(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.

令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，

∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．

(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．

于是有22＋a＝20，∴a＝－2.

∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.

∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，

∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，

∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.

三、探究与创新

13．(2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．

解　(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，

g′(0)＝4，而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，

∴a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.

(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)，

设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．

由题设可得F(0)≥0，即k≥1，

令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2，

①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，∴当x∈(－2，x1)时，

F′(x)＜0，当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增，故F(x)在x＝x1取最小值F(x1)，而F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.

∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．

②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e2)，

∴当x≥－2时，F′(x)≥0，∴F(x)在(－2，＋∞)单调递增，而F(－2)＝0，∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立，

③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．

综上所述，k的取值范围为[1，e2].