1.6　微积分基本定理

[学习目标]

1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．

2．会利用微积分基本定理求函数的定积分．

[知识链接]

1．导数与定积分有怎样的联系？

答　导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算．

2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？

答　根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：

图(1)中S＝f(x)dx，

图(2)中S＝－f(x)dx，

图(3)中S＝f(x)dx－f(x)dx.

[预习导引]

1．微积分基本定理

如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．

2．函数f(x)与其一个原函数的关系

(1)若f(x)＝c(c为常数)，则F(x)＝cx；

(2)若f(x)＝xn(n≠－1)，则F(x)＝·xn＋1；

(3)若f(x)＝，则F(x)＝ln_x(x>0)；

(4)若f(x)＝ex，则F(x)＝ex；

(5)若f(x)＝ax，则F(x)＝(a>0且a≠1)；

(6)若f(x)＝sin x，则F(x)＝－cos_x；

(7)若f(x)＝cos x，则F(x)＝sin_x.

要点一　求简单函数的定积分

例1　计算下列定积分

(1)3dx；　(2)(2x＋3)dx；

(3)－1(4x－x2)dx；　(4)(x－1)5dx.

解　(1)因为(3x)′＝3，

所以3dx＝(3x)＝3×2－3×1＝3.

(2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3，

所以(2x＋3)dx＝(x2＋3x)

＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.

(3)因为′＝4x－x2，

所以－1(4x－x2)dx＝

＝－＝.

(4)因为′＝(x－1)5，

所以1(x－1)5dx

＝(x－1)6

＝(2－1)6－(1－1)6

＝.

规律方法　(1)用微积分基本定理求定积分的步骤：

①求f(x)的一个原函数F(x)；

②计算F(b)－F(a)．

(2)注意事项：

①有时需先化简，再求积分；

②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.

跟踪演练1　求下列定积分：

(1)∫0(3x＋sin x)dx；

(2)1dx.

解　(1)∵′＝3x＋sin x，

∴∫0(3x＋sin x)dx＝

＝－＝＋1；

(2)∵(ex－ln x)′＝ex－，

∴1(ex－)dx＝＝(e2－ln 2)－(e－0)

＝e2－e－ln 2.

要点二　求较复杂函数的定积分

例2　求下列定积分：

(1)1(1－)dx；　(2)∫02cos2dx；

(3)1(2x＋)dx.

解　(1)∵(1－)＝－x，

又∵′＝－x.

∴1(1－)dx＝

＝－＝－.

(2)∵2cos2＝1＋cos x，(x＋sin x)′＝1＋cos x，

∴原式＝∫0(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)＝＋1.

(3)∵′＝2x＋，

∴1(2x＋)dx＝

＝－＝＋2.

规律方法　求较复杂函数的定积分的方法：

(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差．

(2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限．

跟踪演练2　计算下列定积分：

(1)∫0(sin x－sin 2x)dx；

(2)ex(1＋ex)dx.

解　(1)sin x－sin 2x的一个原函数是－cos x＋

cos 2x，所以∫0(sin x－sin 2x)dx

＝

＝－＝－.

(2)∵ex(1＋ex)＝ex＋e2x，

∴′＝ex＋e2x，

∴ex(1＋ex)dx＝dx

＝

＝eln 2＋e2ln 2－e0－e0

＝2＋×4－1－＝.

要点三　定积分的简单应用

例3　已知f(a)＝0(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．

解　∵′＝2ax2－a2x，

∴0(2ax2－a2x)dx＝＝

a－a2，

即f(a)＝a－a2＝－＋

＝－2＋，

∴当a＝时，f(a)有最大值.

规律方法　定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用．

跟踪演练3　已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，0f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．

解　由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2. ①

又f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0， ②

而0f(x)dx＝0(ax2＋bx＋c)dx＝

＝a＋b＋c，

∴a＋b＋c＝－2， ③

由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.

要点四　求分段函数的定积分

例4　计算下列定积分：

(1)若f(x)＝，求∫－1f(x)dx；

(2)0|x2－4|dx.

解　(1)∫－1f(x)dx＝－1x2dx＋∫0(cos x－1)dx，

又∵′＝x2，(sin x－x)′＝cos x－1

∴原式＝x3＋(sin x－x)

＝＋－(sin 0－0)

＝－.

(2)∵|x2－4|＝

又∵′＝x2－4，′＝4－x2，

∴0|x2－4|dx＝0(4－x2)dx＋2(x2－4)dx

＝＋

＝－0＋(9－12)－＝.

规律方法　(1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；

(2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；

(3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．

跟踪演练4　求－3(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.

解　∵|2x＋3|＋|3－2x|

＝

∴－3(|2x＋3|＋|3－2x|)dx

＝∫－－3(－4x)dx＋∫－6dx＋∫34xdx

＝－2x2＋6x＋2x2＝45.

1．∫－(1＋cos x)dx等于(　　)

A．π  B．2

C．π－2  D．π＋2

答案　D

解析　∵(x＋sin x)′＝1＋cos x，

∴－

＝＋sin－＝π＋2.

2．若dx＝3＋ln 2，则a的值是(　　)

A．5  B．4

C．3  D．2

答案　D

解析　dx＝2xdx＋dx＝x2|＋

ln x＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，解得a＝2.

3．dx＝________.

答案　

解析　dx＝x2dx－xdx

＝＝－＝.

4．已知f(x)＝，计算f(x)dx.

解　f(x)dx＝∫0f(x)dx＋f(x)dx

＝∫0(4x－2π)dx＋cos xdx，

取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；

取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.

所以∫0(4x－2π)dx＋cos xdx＝(2x2－2πx)＋

sin x，即f(x)dx＝－π2－1.

1．求定积分的一些常用技巧

(1)对被积函数，要先化简，再求积分．

(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．

2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.

一、基础达标

1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是(　　)

①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s(t)；

②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；

③它在时间段[a，b]内的位移是s＝lis′(ξi)；

④它在时间段[a，b]内的位移是s＝s′(t)dt.

A．①  B．①②

C．①②④  D．①②③④

答案　D

2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是(　　)

A．F(x)＝x3

B．F(x)＝x3

C．F(x)＝x3＋1

D．F(x)＝x3＋c(c为常数)

答案　B

解析　若F(x)＝x3，则F′(x)＝3x2，这与F′(x)＝x2不一致，故选B.

3．(ex＋2x)dx等于(　　)

A．1   B．e－1

C．e  D．e＋1

答案　C

解析　(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.

4．已知f(x)＝，则－1f(x)dx的值为(　　)

A.  B．

C．  D．－

答案　B

解析　－1f(x)dx＝－1x2dx＋1dx＝＋1＝＋1＝，故选B.

5．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．

答案　

解析　由已知得a＋c＝ax＋c，∴x＝，又∵0≤x0≤1，∴x0＝.

6．(2013·湖南)若x2dx＝9，则常数T的值为________．

答案　3

解析　x2dx＝＝T3＝9，即T3＝27，解得T＝3.

7．已知－1(x3＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6且f(t)＝(x3＋ax＋3a－b)dx为偶函数，求a，b的值．

解　∵f(x)＝x3＋ax为奇函数，

∴－1(x3＋ax)dx＝0，

∴－1(x3＋ax＋3a－b)dx

＝－1(x3＋ax)dx＋－1(3a－b)dx

＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－2b.

∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3， ①

又f(t)＝

＝＋＋(3a－b)t为偶函数，

∴3a－b＝0， ②

由①②得a＝－3，b＝－9.

二、能力提升

8．∫0sin2dx等于(　　)

A.  B．－1

C．2  D．

答案　D

解析　∫0sin2dx＝∫0dx＝0＝，故选D.

9．(2013·江西)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)

A．S1＜S2＜S3  B．S2＜S1＜S3

C．S2＜S3＜S1  D． S3＜S2＜S1

答案　B

解析　S1＝x2dx＝x3S2＝＝ln 2＜1，S3＝exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)＞，所以S2＜S1＜S3，选B.

10．设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则a＝________.

答案　1

解析　因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，

所以f(0)＝a3.因为f[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.

11．设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求f(x)的解析式．

解　∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则

f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx

＝a＋b＝5，

xf(x)dx＝x(ax＋b)dx＝(ax2)dx＋bxdx

＝a＋b＝.

由，得.即f(x)＝4x＋3.

12．若函数f(x)＝求f(x)dx的值．

解　由积分的性质，知：

f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx

＝x3dx＋dx＋2xdx

＝

＝＋－＋－

＝－＋＋.

三、探究与创新

13．求定积分－4|x＋a|dx.

解　(1)当－a≤－4即a≥4时，

原式＝－4(x＋a)dx＝＝7a－.

(2)当－4＜－a＜3即－3＜a＜4时，

原式＝[－(x＋a)]dx＋－a(x＋a)dx

＝

＝－4a＋8＋

＝a2－a＋.

(3)当－a≥3即a≤－3时，

原式＝－4[－(x＋a)]dx＝＝

－7a＋.

综上，得－4|x＋a|dx＝