1.3.2　函数的极值与导数

[学习目标]

1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．

2．掌握函数极值的判定及求法．

3．掌握函数在某一点取得极值的条件．

[知识链接]

在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？

答　以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.

[预习导引]

1．极值点与极值的概念

(1)极小值点与极小值

如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)极大值点与极大值

如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

2．求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值．

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．

要点一　求函数的极值

例1　求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．

解　f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；

由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝.

当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.

规律方法　求可导函数f(x)的极值的步骤：

(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．

跟踪演练1　求函数f(x)＝＋3ln x的极值．

解　函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－＋＝.

令f′(x)＝0，得x＝1.

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.

要点二　利用函数极值确定参数的值

例2　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.

(1)求常数a，b，c的值；

(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．

解　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

∵x＝±1是函数f(x)的极值点，

∴x＝±1是方程f′(x)＝0的两根，

即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，

由根与系数的关系，得

又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.

(2)由(1)知f(x)＝x3－x，

∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，

当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0，

当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，

∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，

在(－1,1)上是减函数，

∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，

当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.

规律方法　(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．

(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．

跟踪演练2　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．

解　因为f(x)在x＝－1时有极值0，

且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，

所以即

解之得或

当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，

所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．

当a＝2，b＝9时，

f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．

当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；

当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，

所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.

要点三　函数极值的综合应用

例3　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．

解　(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，

解得x1＝－，x2＝.

因为当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；

当－＜x＜时，f′(x)＜0.

所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；

单调递减区间为(－，)．

当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；

当x＝时，f(x)有极小值5－4.

(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．

所以，当5－4＜a＜5＋4时，

直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，

即方程f(x)＝a有三个不同的实根．所以，a的取值范围是(5－4，5＋4)．

规律方法　用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．

跟踪演练3　若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．

解　f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，

可知f(x)在(－1,1)上是减函数，

f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．

f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，

f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.

要使函数f(x)只有一个零点，

只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)

或

即k＜－4或k＞4.

∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．

1．下列关于函数的极值的说法正确的是(　　)

A．导数值为0的点一定是函数的极值点

B．函数的极小值一定小于它的极大值

C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值

D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数

答案　D

解析　由极值的概念可知只有D正确．

2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)

A．无极大值点，有四个极小值点

B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点

D．有四个极大值点，无极小值点

答案　C

解析　在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．

3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)

A．－1＜a＜2  B．－3＜a＜6

C．a＜－1或a＞2  D．a＜－3或a＞6

答案　D

解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，

因为f(x)既有极大值又有极小值，

那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，

解得a＞6或a＜－3.

4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．

答案　9

解析　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9.

1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．

2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．

3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.

一、基础达标

1．

函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

答案　A

解析　当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．

2．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，

不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.

3．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)

A．2  B．3

C．6  D．9

答案　D

解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，

∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.

又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2，∴2≤6，

∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，

∴ab的最大值为9.

4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有(　　)

A．极大值5，极小值－27

B．极大值5，极小值－11

C．极大值5，无极小值

D．极小值－27，无极大值

答案　C

解析　由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0，当－1＜x＜3时，y′<0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．

5．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．

答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)

解析　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.

6．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是________．

答案　(1,4)

解析　y′＝3x2－3a，当a≤0时，y′≥0，

函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a＞0时，y′＝3x2－3a＝0⇒x＝±，不难分析，当1＜＜2，即1＜a＜4时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值．

7．求函数f(x)＝x2e－x的极值．

解　函数的定义域为R，

f′(x)＝2xe－x＋x2·′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；

当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.

二、能力提升

8．(2014·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝sin.若存在f(x)的极值点x0满足x＋[f(x0)]2<m2，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)  B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

答案　C

解析　由f(x)＝sin的图象知，在x＝x0处，

f(x0)＝，或f(x0)＝－，即[f(x0)]2＝3，又＝＋kπ(k∈Z)，得x0＝m(k∈Z)，∴|x0|≥，

∴x＋[f(x0)]2≥＋3，∴＋3<m2，∴m2>4，

∴m>2或m<－2.故选C.

9．(2013·福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)

A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)

B．－x0是f(－x)的极小值点

C．－x0是－f(x)的极小值点

D．－x0是－f(－x)的极小值点

答案　D

解析　x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，并不是最大值点．故A错；f(－x)相当于f(x)关于y轴的对称图象的函数，故－x0应是f(－x)的极大值点，B错；－f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图象的函数，故x0应是－f(x)的极小值点．跟－x0没有关系，C错；－f(－x)相当于f(x)关于坐标原点的对称图象的函数．故D正确．

10．

如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y＝f(x)在区间内单调递增；

②函数y＝f(x)在区间内单调递减；

③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；

④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；

⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．

则上述判断正确的是________．(填序号)

答案　 ③

解析　函数的单调性由导数的符号确定，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x＝2时，函数有极大值；而在x＝－的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x＝－的左右两侧均为增函数，所以x＝－不是函数的极值点．排除④和⑤.

11．已知f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m＞0)有极大值－，求m的值．

解　∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，

令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋m3＋2m3－4＝－，∴m＝1.

12．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.

(1)求f(x)的极值；

(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？

解　(1)f′(x)＝3x2－2x－1.

令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以f(x)的极大值是f＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.

(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a

＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，

由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，

x取足够小的负数时，有f(x)＜0，

所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．

由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.

∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，

即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，

∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．

三、探究与创新

13．(2013·新课标Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.

(1)解　f′(x)＝ex－.

由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.

于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，

f′(x)＝ex－.

函数f′(x)＝ex－在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0，因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.

所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

(2)证明　当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.

当m＝2时，

函数f′(x)＝ex－在(－2，＋∞)单调递增．

又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．

当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．

由f′(x0)＝0得

ex0＝，ln(x0＋2)＝－x0，

故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.

综上，当m≤2时，f(x)＞0.