1.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

[学习目标]

1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．

2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．

[知识链接]

　前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？

答　利用导数的运算法则．

[预习导引]

1．导数运算法则

2．复合函数的求导法则

要点一　利用导数的运算法则求函数的导数

例1　求下列函数的导数：

(1) y＝x3－2x＋3；

 (2)y＝(x2＋1)(x－1)；

(3)y＝3x－lg x.

解　(1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.

(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，

∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.

(3)函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝，利用函数差的求导法则可得

(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－.

规律方法　本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．

跟踪演练1　求下列函数的导数：

(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcos x；

(3)y＝ex·ln x；(4)y＝lg x－.

解　(1)y′＝－12x2；

(2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x；

(3)y′＝＋ex·ln x；

(4)y′＝＋.

要点二　求复合函数的导数

例2　求下列函数的导数：

(1)y＝ln(x＋2)；

(2)y＝(1＋sin x)2；

解　(1)y＝ln u，u＝x＋2

∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝·1＝.

(2)y＝u2，u＝1＋sin x，

∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(1＋sin x)′

＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．

规律方法　应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：

(1)中间变量的选取应是基本函数结构．

(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．

(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．

(4)善于把一部分表达式作为一个整体．

(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．

跟踪演练2　(1)y＝e2x＋1；

(2)y＝(－2)2.

解　(1)y＝eu，u＝2x＋1，

∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.

(2)法一　∵y＝(－2)2＝x－4＋4，

∴y′＝x′－(4)′＋4′

＝1－4×x－＝1－.

法二　令u＝－2，

则yx′＝yu′·ux′＝2(－2)·(－2)′＝

2(－2)＝1－.

要点三　导数的应用

例3　求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．

解　设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为

k＝f′(x0)＝3x－2

故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0) ①

∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x－2x0 ②

又∵(1，－1)在切线上，

∴将②式和(1，－1)代入①式得

－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．

解得x0＝1或x0＝－.

故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．

即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.

规律方法　(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．

跟踪演练3　已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速度．

解　∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，

∴s′(t)＝－＋2·＋4t，

∴s′(3)＝－＋＋12＝，

即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s.

1．下列结论不正确的是(　　)

A．若y＝3，则y′＝0

B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3

C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1

D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x

答案　D

解析　利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sin x＋cos x，

∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.

2．函数y＝的导数是(　　)

A.  B．

C．  D．

答案　C

解析　y′＝′＝

＝.

3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)

A．y＝2x＋1  B．y＝2x－1

C．y＝－2x－3  D．y＝－2x＋2

答案　A

解析　∵y′＝＝，

∴k＝y′|x＝－1＝＝2，

∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.

4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.

答案　ln 2－1

解析　设切点为(x0，y0)，

∵ y′＝，∴＝，

∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝×2＋b，∴b＝ln 2－1.

　求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.

一、基础达标

1．设y＝－2exsin x，则y′等于(　　)

A．－2excos x  B．－2exsin x

C．2exsin x  D．－2ex(sin x＋cos x)

答案　D

解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．

2．当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝(　　)

A．a  B．±a

C．－a  D．a2

答案　B

解析　y′＝′＝＝，

由x－a2＝0得x0＝±a.

3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)

A．2  B．

C．－  D．－2

答案　D

解析　∵y＝＝1＋，

∴y′＝－.∴y′|x＝3＝－.

∴－a＝2，即a＝－2.

4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　)

A．(－2，－8)  B．(－1，－1)或(1,1)

C．(2,8)  D．

答案　B

解析　y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，

则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．

5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．

答案　4

解析　依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，

f′(1)＝g′(1)＋2＝4.

6．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.

答案　1

解析　由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，

令x＝0，则f′(0)＝0，

∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.

7．求下列函数的导数：

(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；

(2)y＝x－sin cos .

解　(1)法一　y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.

法二　∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，

∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.

(2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x，

∴y′＝x′－′＝1－cos x.

二、能力提升

8．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)

A．－  B．

C．－  D．

答案　B

解析　y′＝＝，故y′|＝，

∴曲线在点M处的切线的斜率为.

9．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)

A．[0，)  B．[，)

C．(，]  D．[，π)

答案　D

解析　y′＝－＝－，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[，π)．

10．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.

答案　2

解析　令t＝ex，则x＝ln t，所以函数为f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝＋1，即f′(1)＝＋1＝2.

11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．

解　点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.

当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；

当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，

则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，

即27x－y－54＝0.

综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.

12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．

解　设切点为(x0，y0)，

则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，

∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，

又切点(x0，y0)在切线上，

∴y0＝3(x－1)x0＋16，

即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，

解得x0＝－2，

∴切线方程为9x－y＋16＝0.

三、探究与创新

13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

(1)解　由7x－4y－12＝0得y＝x－3.

当x＝2时，y＝，∴f(2)＝， ①

又f′(x)＝a＋，

∴f′(2)＝， ②

由①，②得

解之得.

故f(x)＝x－.

(2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知

曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为

y－y0＝(x－x0)，

即y－＝(x－x0)．

令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.

令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.