高中数学人教版新课标A必修53.2 一元二次不等式及其解法教学设计

§3.2  一元二次不等式及其解法（1）

      第 05 周   星期 3  第  23   课时

【教学目标】

1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图像法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3．情感态度与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】

（一）课题导入

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：（互联网的收费问题）

上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（ISP）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用。

某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择。公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算）；公司B的收费原则如下图所示，即在用户上网的第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）。

一般来说，一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨设一次上网时间总小于17小时。那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于或等于选择公司B所需费用？

分析问题：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x（元），公司B收取的费用为（元），如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少，则，整理得：一元二次不等式模型：  …………  ①

（二）讲授新课

1、一元二次不等式的定义

象这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

2、探究一元二次不等式的解集

怎样求不等式的解集呢？

探究：

（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系

容易知道：二次方程的有两个实数根：，二次函数有两个零点：。

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

（2）观察图象，获得解集

画出二次函数的图象，如图，观察函数图象，可知：

当 x < 0，或x > 5时，函数图象位于x轴上方，此时，y > 0，即；

当0 < x < 5时，函数图象位于x轴下方，此时，y < 0，即；

所以，不等式的解集是，从而解决了本节开始时提出的问题。

（3）探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：> 0（a > 0）或< 0（a > 0），怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢？

组织讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：

（1）抛物线与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程= 0的根的情况；

（2）抛物线的开口方向，也就是a的符号。

总结讨论结果：

（1）抛物线 （a > 0）与 x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 = 0的判别式三种取值情况(Δ > 0，Δ = 0，Δ < 0）来确定，因此，要分三种情况讨论；

（2）a < 0可以转化为a > 0。

一元二次不等式的解集：

设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)

范例讲解：

例1、求不等式的解集。

解：因为，所以，原不等式的解集是。

例2、解不等式。

解：整理，得，因为无实数解，所以不等式的解集是，从而，原不等式的解集是。

小结：解一元二次不等式的步骤：（数轴标根法）

（1）化简：将不等式化成标准形式（右边为0）；

（2）化正：将最高次的系数化为正（如1）；

（3）求根：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根；

（4）标根：将两根在数轴上依次标出；

（5）结论：记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。

（三）随堂练习：课本第80的练习1。

（四）课时小结

解一元二次不等式的步骤：

① 将二次项系数化为“+”：A => 0（或<0）（a > 0）

② 计算判别式，分析不等式的解的情况：

ⅰ.>0时，求根<，

ⅱ.=0时，求根＝＝，

ⅲ.<0时，方程无解，

③ 写出解集。

（五）评价设计：课本第80页习题3.2[A]组第1题。

【教学反思】