2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第7章 立体几何 7-5 word版含答案

(时间：40分钟)

1．“直线l垂直于平面α”的一个必要不充分条件是(　　)

A．直线l与平面α内的任意一条直线垂直

B．过直线l的任意一个平面与平面α垂直

C．存在平行于直线l的直线与平面α垂直

D．经过直线l的某一个平面与平面α垂直

答案　D

解析　若直线l垂直于平面α，则经过直线l的某一个平面与平面α垂直，当经过直线l的某一个平面与平面α垂直时，直线l垂直于平面α不一定成立，所以“经过直线l的某一个平面与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α”的必要不充分条件．故选D.

2．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　)

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

答案　D

解析　由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.故选D.

3．已知α，β表示平面，m，n表示直线，m⊥β，α⊥β，给出下列四个结论：

①∀n⊂α，n⊥β；②∀n⊂β，m⊥n；③∀n⊂α，m∥n；④∃n⊂α，m⊥n.

则上述结论中正确的个数为(　　)

A．1    B．2 

C．3    D．4

答案　B

解析　由于m⊥β，α⊥β，所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α，n⊥β或n，β斜交或n∥β，①不正确；∀n⊂β，m⊥n，②正确；∀n⊂α，m∥n或m，n相交或互为异面直线，③不正确；④正确．故选B.

4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于(　　)

A．A′C′    B．BD

C．A′D′    D．AA′

答案　B

解析　连接B′D′，

∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，

且A′C′∩CC′＝C′，

∴B′D′⊥平面CC′E.

而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.

又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.故选B.

5．已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是(　　)

A．CD∥平面PAF

B．DF⊥平面PAF

C．CF∥平面PAB

D．CF⊥平面PAD

答案　D

解析　A中，因为CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；

B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF，

又因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，

又因为PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；

C中，因为CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.

6．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：

①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.

其中正确的个数是________．

答案　3

解析　如图所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，

PC∩PB＝P，

∴PA⊥平面PBC.

又∵BC⊂平面PBC，

∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.

但AB不一定垂直于BC.

7．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：

①AC⊥α；②AC∥α；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.

其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)

答案　①③

解析　如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BD⊥EF.故要得到BD⊥EF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．

8.

如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)．

①平面ABC⊥平面ABD；

②平面ABD⊥平面BCD；

③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；

④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.

答案　③

解析　由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故③正确．

9．如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM.

(1)求证：AD⊥BM；

(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥E－ADM的体积与四棱锥D－ABCM的体积之比为1∶3?

解　(1)证明：∵长方形ABCD中，AB＝2，AD＝，M为DC的中点，

∴AM＝BM＝2，∴AB2＝AM2＋BM2∴BM⊥AM.

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM，

∴BM⊥平面ADM.

∵AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM.

(2)当E为DB的中点时，VE－ADM＝VB－ADM＝VD－ABM＝×VD－ABCM＝VD－ABCM，

∴E为DB的中点．

10．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．

(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；

(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.

证明　(1)∵F为AB的中点，

又知AB＝4，BC＝CD＝2，∴AF綊CD，

∴四边形AFCD为平行四边形，∴CF∥AD.

又∵ABCD－A1B1C1D1为直棱柱，∴C1C∥D1D.

而FC∩C1C＝C，D1D∩DA＝D，

∴平面ADD1A1∥平面C1CF.

∵EE1⊂平面ADD1A1，∴EE1∥面FCC1.

(2)如图，连接D1C.

在直四棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴CC1⊥AC.

∵底面ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝2，F是棱AB的中点，∴CF＝AD＝BF＝2，

∴△BCF为正三角形，∠BCF＝∠CFB＝60°，∠FCA＝∠FAC＝30°，∴AC⊥BC.

又∵BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，

∴AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC，

∴平面D1AC⊥平面BB1C1C.

(时间：20分钟)

11．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是(　　)

A．a⊥α，b∥β，α⊥β    B．a⊥α，b⊥β，α∥β

C．a⊂α，b⊥β，α∥β    D．a⊂α，b∥β，α⊥β

答案　C

解析　对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.

12．如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，且BD＝DC＝.给出下面四个命题：

①AD⊥BC；②三棱锥A－BCD的体积为；③CD⊥平面ABD；④平面ABC⊥平面ACD.其中正确命题的序号是(　　)

A．①②    B．③④

C．①③    D．②④

答案　B

解析　设BD的中点为E，并连接AE，如图所示．对于①，因为AB＝AD，所以AE⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，则AE⊥平面BCD，AE⊥BC，若AD⊥BC，则BC⊥平面ABD，则BC⊥BD与题意不符，故①错；对于②，VA－BCD＝S△BCD·AE＝××××＝，故②错；对于③，因为AE⊥平面BCD，所以AE⊥DC，又CD⊥BD，BD∩AE＝E，所以CD⊥平面ABD，故③正确；对于④，由③知，CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ACD，又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD，故④正确．

13．

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．

答案　

解析　设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.

由已知可以得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.

又2×＝h，所以h＝，DE＝.

在Rt△DB1E中，B1E＝＝.

由面积相等得× ＝x，得x＝，

即线段B1F的长为.

14．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，且SA＝AB，点M是SB的中点，AN⊥SC且交SC于点N.

(1)求证：SC⊥平面AMN；

(2)当AB＝BC＝1时，求三棱锥M－SAN的体积．

解　(1)证明：因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥BC.

又BC⊥AB，AB∩SA＝A，所以BC⊥平面SAB.

又AM⊂平面SAB，所以BC⊥AM.

又SA＝AB，M为SB的中点，所以AM⊥SB.

又SB∩BC＝B，所以AM⊥平面SBC，所以AM⊥SC.

又AN⊥SC，AM∩AN＝A，所以SC⊥平面AMN.

(2)因为SC⊥平面AMN，所以SN⊥平面AMN.

而SA＝AB＝BC＝1，所以AC＝，SC＝.

又AN⊥SC，所以AN＝，SN＝.

因为AM⊥平面SBC，所以AM⊥MN.

而AM＝，所以MN＝，

所以S△AMN＝AM×MN＝××＝.

所以V三棱锥M－SAN＝V三棱锥S－AMN＝S△AMN×SN＝××＝.