2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第7章 立体几何 7-3 word版含答案

(时间：40分钟)

1．已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.

2．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(　　)

A．若AC与BD共面，则AD与BC共面

B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线

C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC

D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC

答案　D

解析　ABCD可能为平面四边形，也可能为空间四边形，故D不成立．

3．设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是(　　)

A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥b

B．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥b

C．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥α

D．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α

答案　C

解析　a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A不正确；由l∥a，且l⊥b，可得a⊥b，与题设矛盾，故B不正确；由a⊂α，且b⊥α，可得a⊥b，与题设矛盾，故D不正确，故选C.

4．如图所示的是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的是(　　)

答案　D

解析　A中PS∥QR，故共面；B中PS与QR相交，故共面；C中四边形PQRS是平行四边形，故共面．

5．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　如图，延长B1A1至A2，使A2A1＝B1A1，延长D1A1至A3，使A3A1＝D1A1，连接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D.易证AA2∥A1B∥D1C，AA3∥A1D∥B1C.∴平面AA2A3∥平面CB1D1，即平面AA2A3为平面α.于是m∥A2A3，直线AA2即为直线n.显然有AA2＝AA3＝A2A3，于是m、n所成的角为60°，其正弦值为.选A.

6．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．

上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．

答案　①

解析　由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不在任何一个平面内”，故④错．

7.

如图，在三棱锥C－ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．

答案　30°

解析　取CB的中点G，连接EG，FG，

∵EG∥AB，FG∥CD，

∴EF与CD所成的角为∠EFG，

又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG.

在Rt△EFG，EG＝AB＝1，FG＝CD＝2，∴sin∠EFG＝，

∴∠EFG＝30°，∴EF与CD所成的角为30°.

8．如图所示，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，

①BM与ED平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成60°角；

④DM与BN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

答案　③④

解析　如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而CN与BE平行，故命题②不成立．

∵BE∥CN，∴CN与BM所成角为∠MBE.

∵∠MBE＝60°，故③正确；∵BC⊥面CDNM，

∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，∴DM⊥面BCN，

∴DM⊥BN，故④正确，故填③④.

9.

如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：

(1)三棱锥P－ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．

解　(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥P－ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.

(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．

在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，

cos∠ADE＝＝.

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.

10．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．

求证：(1)E、C、D1、F四点共面；

(2)CE、D1F、DA三线共点．

证明　(1)如图所示，连接CD1、EF、A1B，

∵E、F分别是AB和AA1的中点，

∴FE∥A1B且EF＝A1B.

∵A1D1綊BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形，

∴A1B∥D1C，∴FE∥D1C，

∴EF与CD1可确定一个平面，

即E、C、D1、F四点共面．

(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，

∴四边形CD1FE是梯形，

∴直线CE与D1F必相交，设交点为P，

则P∈CE⊂平面ABCD，且P∈D1F⊂平面A1ADD1，

∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.

又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，

∴P∈AD，∴CE、D1F、DA三线共点．

(时间：20分钟)

11．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.

①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；

②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；

③若a∥b，则必有a∥c；

④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.

其中正确的命题的个数是(　　)

A．0    B．1 

C．2    D．3

答案　C

解析　①中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故①正确；②中平面α⊥平面β时，若b⊥c，则b⊥平面α，此时不论a，c是否垂直，均有a⊥b，故②错误；③中当a∥b时，则a∥平面β，由线面平行的性质定理可得a∥c，故③正确；④中若b∥c，则a⊥b，a⊥c时，a与平面β不一定垂直，此时平面α与平面β也不一定垂直，故④错误，所以正确命题的个数是2.

12.

如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　

连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.

13．如下图，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．

答案　②④

解析　①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．

14．如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．

(1)求证：AE与PB是异面直线；

(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；

(3)求三棱锥A－EBC的体积．

解　(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，

∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，

∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，

∴AE与PB是异面直线．

(2)取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．

∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，

∴AF＝，AE＝，EF＝，

cos∠AEF＝＝，

∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为.

(3)因为E是PC的中点，所以E到平面ABC的距离为PA＝1，

VA－EBC＝VE－ABC＝××1＝.